Problema del 2015, juny, sèrie 4. Química Catalunya

Els propulsors iònics són un tipus de propulsors de naus espacials que utilitzen un feix d’ions positius accelerats a velocitats molt elevades. La propulsió iònica inicialment utilitzava cesi, però, per problemes d’erosió dels materials, actualment s’empren gasos nobels com el xenó. a) Quan fem incidit sobre àtoms de xenó una radiació electromagnètica amb una longitud d’ona màxima de $1.020 \cdot 10^{-7}$ m, es provoca la formació del catió Xe$^+$. Cal determinar: la freqüència d’aquesta radiació electromagnètica, el valor de la primera energia d’ionització del xenó, expressat en kJ/mol. b) Escriviu la configuració electrònica, en estat fonamental, dels àtoms de cesi i de xenó. A partir de les configuracions electròniques i del model atòmic de càrregues elèctriques, compareu el radi atòmic i la primera energia d’ionització del cesi i del xenó.

Dades:

•     Nombres atòmics (Z): Z(Xe) = 54; Z(Cs) = 55.
•     Constant de Planck: h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s.
•     Velocitat de la llum en el buit: c = 3 × 10⁸ m/s.
•     Nombre d’Avogadro: Nₐ = 6.02 × 10²³ mol⁻¹.

Freqüència de la radiació (ν):

• Fórmula: $\nu = \frac{c}{\lambda}$
• Dades: $c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}$, $\lambda = 1.020 \times 10^{-7} \, \text{m}$
• $$\nu = \frac{3.0 \times 10^8}{1.020 \times 10^{-7}} = 2.941 \times 10^{14} \, \text{Hz}$$

Energia per àtom (E):

• Fórmula: $E = h \nu$
• Dades: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$, $\nu = 2.941 \times 10^{14} \, \text{Hz}$
  $$E = 6.63 \times 10^{-34} \times 2.941 \times 10^{14} = 1.949 \times 10^{-19} \, \text{J/àtom}$$

Energia d’ionització (kJ/mol):

• Conversió: $E_{\text{mol}} = E_{\text{àtom}} \times N_A \times \frac{1 \, \text{kJ}}{1000 \, \text{J}}$
• Dades: $N_A = 6.02 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$
  $$E_{\text{mol}} = (1.949 \times 10^{-19}) \times (6.02 \times 10^{23}) \times \frac{1}{1000}$$
  $$= 1.173 \times 10^5 \, \text{J/mol} \times \frac{1}{1000} = 117.3 \, \text{kJ/mol}$$
  El teu resultat de $117.3 \, \text{kJ/mol}$ és correcte amb els valors ajustats.

b) Configuracions electròniques

• Cesi (Cs, Z = 55): $$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^2 4p^6 4d^{10} 5s^2 5p^6 6s^1$$
  Això es pot escriure de manera més compacta utilitzant el gas noble anterior (Xe) com a nucli:
  $$[Xe] 6s^1$$
• Xenó (Xe, Z = 54): $$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^2 4p^6 4d^{10} 5s^2 5p^6$$
  O simplement:
  $$[Kr] 4d^{10} 5s^2 5p^6$$

Comparació dels radis atòmics

• Justificació basada en la configuració electrònica: L’enunciat explica correctament que l’electró més extern del cesi es troba en un orbital amb $n = 6$ (6s¹), mentre que el del xenó està en un orbital amb $n = 5$ ($5p^6$). Com que el radi atòmic augmenta amb el nombre quàntic principal $n$, el cesi té un radi atòmic més gran que el xenó. Aquesta justificació és correcta i es basa en les configuracions electròniques, per la qual cosa no hi ha penalització.
  $$\text{Radi (Cs)} > \text{Radi (Xe)}$$

Energia d’ionització

• Definició: L’enunciat defineix correctament l’energia d’ionització com l’energia necessària per arrencar un electró d’un àtom en estat gasós:
  $$A(g) \rightarrow A^+(g) + e^-$$
  Aquesta és la primera energia d’ionització, i la inclusió d’aquesta equació és adequada.

Resum

1. Configuracions electròniques: Les configuracions proporcionades tenen errors. Les correctes són:

• Cs: $[Xe] 6s^1$
• Xe: $[Kr] 4d^{10} 5s^2 5p^6$
  Si es corregeixen, es pot obtenir la puntuació màxima; si no, es penalitzaria parcialment.

1. Comparació dels radis: La justificació basada en el nombre quàntic principal ($n = 6$ per al cesi i $n = 5$ per al xenó) és correcta, i es conclou correctament que:
   $$\text{Radi (Cs)} > \text{Radi (Xe)}$$
   No hi ha penalització perquè no es basa en la posició a la taula periòdica.
2. Energia d’ionització: L’explicació basada en la llei de Coulomb és correcta. Com que el cesi té un radi atòmic més gran, l’energia d’ionització és menor:
   $$\text{Energia d’ionització (Cs)} < \text{Energia d’ionització (Xe)}$$

Resposta final

• Configuracions electròniques correctes:
• Cesi: $[Xe] 6s^1$
• Xenó: $[Kr] 4d^{10} 5s^2 5p^6$
• Comparació de radis: El cesi té un radi atòmic més gran que el xenó perquè el seu electró més extern està en un orbital amb $n = 6$, mentre que el del xenó està en $n = 5$.
• Energia d’ionització: L’energia d’ionització del cesi és menor que la del xenó perquè el radi atòmic més gran del cesi implica una menor força d’atracció entre el nucli i l’electró extern, segons la llei de Coulomb.