Problema de Vectors i Geometria

Es consideren els vectors $\mathbf{u} = (-1, 2, 3)$, $\mathbf{v} = (2, 0, -1)$ i el punt $A(-4, 4, 7)$. Es demana: a) Determinar un vector $\mathbf{w_1}$ que sigui ortogonal a $\mathbf{u}$ i $\mathbf{v}$, unitari i amb la tercera coordenada negativa. b) Trobar un vector no nul $\mathbf{w_2}$ que sigui combinació lineal de $\mathbf{u}$ i $\mathbf{v}$ i ortogonal a $\mathbf{v}$. c) Determinar els vèrtexs del paral·lelogram els costats del qual tenen les direccions dels vectors $\mathbf{u}$ i $\mathbf{v}$ i una de les seves diagonals és el segment $\overrightarrow{OA}$.

a) Un vector ortogonal a dos dades es pot obtenir multiplicant vectorialment els vectors dades.

Per tant: $\vec{w_1} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -2\vec{i} + 5\vec{j} – 4\vec{k} = (-2, 5, -4)$.

El vector unitari corresponent és $\frac{1}{|\vec{w_1}|} \vec{w_1}$.

Això és: $\frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-4)^2}} (-2, 5, -4) = \frac{1}{3\sqrt{5}} (-2, 5, -4) = \left(-\frac{2}{3\sqrt{5}}, \frac{5}{3\sqrt{5}}, -\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)$.

La tercera coordenada ja és negativa.

b) Combinació lineal:
$$\vec{w_2} = a\vec{u} + b\vec{v} = a \cdot (-1, 2, 3) + b \cdot (2, 0, -1) = (-a + 2b, 2a, 3a – b)$$

Ortogonal a $\vec{v}$:
$$\vec{w_2} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (-a + 2b, 2a, 3a – b) \cdot (2, 0, -1) = 0 \Rightarrow
-2a + 4b – 3a + b = 0 \Rightarrow -5a + 5b = 0 \Rightarrow b = a$$.

Per tant, $\vec{w_2} = (a, 2a, 2a)$, amb $a \neq 0$. Un d’ells és $\vec{w_2} = (1, 2, 2)$.

c) Ha de complir que:
$$\overrightarrow{OA} = p\vec{u} + q\vec{v} = (-p + 2q, 2p, 3p – q) = (-4, 4, 7) \Rightarrow \begin{cases}p = 2 \\ q = -1\end{cases}$$.

Els vèrtexs seran:
$$O = (0, 0, 0)$; $B = (-2, 4, 6)$; $C = (-2, 0, 1)$; $A = (-4, 4, 7)$$.