Problema de la velocitat després de la introducció del carnet per punts

Abans de la posada en marxa del carnet per punts, la velocitat en una carretera seguia una distribució normal de mitjana $80$ km/h i desviació típica $10$. Al cap d’uns mesos de la introducció d’aquesta mesura, sobre $40$ vehicles observats en diferents hores del dia es va obtenir una mitjana de $75$ km/h.

Si la velocitat continua sent una normal amb la mateixa desviació típica:

a) Troba un interval de confiança amb un nivell de significació del $10\%$ per a la velocitat en aquest tram després de la introducció del carnet per punts i digues quin és l’error màxim admissible. b) Calcula un interval de confiança del $95\%$ per a la velocitat en aquest tram després de la introducció del carnet per punts.

Alguns valors de la funció de distribució normal de mitjana 0 i desviació típica 1:
$$F(3,16) = 1 \qquad
F(1,96) = 0,975 \qquad
F(1,64) = 0,95 \qquad
F(0,95) = 0,83 \qquad
F(0,05) = 0,52$$

Apartat a)

$\textbf{IDEA CLAU.}$ S’ha de calcular el valor crític $Z_{\alpha/2}$ corresponent al nivell de significació donat.

Calculem el valor de $Z_{\alpha/2}$ que correspon a un nivell de significació del 10\%.

La informació proporcionada diu que $\alpha = 0,1$, per tant:
$$F(Z_{\alpha/2}) = 0,95$$

Com que $F(1,64) = 0,95 \rightarrow Z_{\alpha/2} = 1,64$

L’interval de confiança és:
$$(75 \pm 1,64 \cdot \frac{10}{\sqrt{40}}) = (72,41; 77,59)$$

L’error màxim admissible és:
$$1,64 \cdot \frac{10}{\sqrt{40}} = 2,59$$

Apartat b)

$\textbf{IDEA CLAU.}$ És necessari calcular el valor crític $Z_{\alpha/2}$ corresponent al nivell de confiança donat.

Calculem el valor de $Z_{\alpha/2}$ que correspon a un nivell de confiança del 95\%.

Amb la informació de l’enunciat tenim que:
$$F(1,96) = 0,975 \rightarrow Z_{\alpha/2} = 1,96$$

L’interval de confiança és:
$$\left(75 – 1,96 \cdot \frac{10}{\sqrt{40}}, \; 75 + 1,96 \cdot \frac{10}{\sqrt{40}}\right) = (71,9; 78,1)$$

La velocitat mitjana, després de la implantació del carnet per punts, està entre 71,9 km/h i 78,1 km/h amb una probabilitat de 0,95.