Problema de geometria mètrica

Les torres de l’anomenada Porta d’Europa, a Madrid, tenen forma de prisma rectangular oblic. Utilitza el producte escalar, producte vectorial i producte mixt per calcular l’àrea de la base, l’altura i el volum de cada torre tenint en compte que $\vec{u}= (0, 35, 0)\ m$, $v = (-35, 0, 0)\ m$, $\vec{w} = (30, 0, 114)\ m$.

Quina inclinació tenen les torres respecte a la vertical?

Per a calcular el volum, utilitzarem el producte mixt:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{V = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{w} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & 35 & 0 \\
-35 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}\cdot(30, 0, 114) =\
\textcolor{blue}{= (0, 0, 1225)\cdot(30, 0, 114) = 139650\ m^3}}
\end{equation}

L’àrea de la base esn la proporciona el mòdul del producte vectorial desl vectors que la formen:

\begin{equation}
{\textcolor{blue}{|(\vec{u}\wedge\vec{u})|=|(0, 0, 1225)| = 1225\ m^2}}
\end{equation}

Si tenim em compte que $\textcolor{black}{V = S_{base}\cdot h}$, aleshores tenim que:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{h = \frac{V}{S_{base}} = \frac{139650}{1225} = 114\ m}
\end{equation}

Podem fer ús del producte escalar per veure l’angle que formen els diferents vectors:

Els vectors que determinen la base de la torre $\vec{u}$ i $\vec{v}$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{u}\cdot\vec{v} = (0, 35, 0)\cdot(-35, 0, 0) = 0\longrightarrow\text{són ortogonals}}
\end{equation}

Aquests vectors són ortogonals i a més a més tenen el mateix mòdul. Aleshores la base de les torres és quadrada.

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{u}\cdot\vec{w} = (0, 35, 0)\cdot(30, 0, 114) = 0\longrightarrow\text{són també ortogonals}}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{v}\cdot\vec{w} = (-35, 0, 0)\cdot(30, 0, 114) = -1050}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\cos\alpha = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{w}||} = \frac{-1050}{35\cdot117.88} = -0.2545\longrightarrow\boxed{\alpha = 104º44’37”}}
\end{equation}

Aleshores la inclinació de les torres respecte de la vertical és de:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\boxed{\beta} = 104º44’37”-90º = \boxed{14º44’37”}}
\end{equation}

Donats els vectors $\vec{a} = (2,-3,5)$ i $\vec{b} = (6,-1,0)$, justifica:

a) Els móduls dels dos vectors

El mòdul del vector $\vec{a}$ el calcularem tal com: \begin{equation} \textcolor{blue}{\boxed{||\vec{a}||} = \sqrt{2^2+(-3)^2+5^2} = \boxed{\sqrt{38}}} \end{equation} i farem el mateix amb el mòdul del vector $\vec{b}$ \begin{equation} \textcolor{blue}{\boxed{||\vec{b}||} = \sqrt{6^2+(-1)^2+3^2} = \boxed{\sqrt{37}}} \end{equation} \item Són perpendiculars? Quin angle formen doncs? Per saber si són perpendiculars, o no, analitzem el producte escalar: \begin{equation} \textcolor{blue}{\vec{a}\cdot\vec{b} = 12+3+0 = 15\longrightarrow\text{no són perpendiculars}} \end{equation} \begin{equation} \textcolor{blue}{\cos\alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||\cdot||\vec{b}||} = \frac{15}{\sqrt{38}\cdot\sqrt{37}} = 0.40004} \end{equation} \begin{equation} \textcolor{blue}{\boxed{\alpha} = \arcsin(0.40004) = \boxed{66º25’11”}} \end{equation}

Projecció de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\boxed{Proj_{\vec{a}\ \text{sobre}\ \vec{b}}} = ||\vec{a}||\cdot\cos\alpha = \sqrt{38}\cdot0.40004 = 2.466 = \boxed{\frac{15}{\sqrt{37}}}}
\end{equation}

Vector projecció de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$

Aquest vector té la mateixa direcció i sentit que $\vec{b
}$. Aleshores normalitzem i després el multipliquem per $\frac{15}{\sqrt{37}}$

Si li diguem $\vec{b_1} = \frac{1}{\sqrt{37}}\cdot(6, -1, 0)$ és el vector projecció de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$ \item El valor de $m$ perquè el vector $\vec{c} = (m,2,3)$ siga ortogonal a $\vec{a}$ Si els vectors $\vec{a}$ i $\vec{c}$ són ortogonals, el seu producte escalar ha de ser $0$. \begin{equation} \textcolor{blue}{\vec{a}\cdot\vec{c} = (2, -3, 5)\cdot(m, 2, 3) = 2m+9 = 0\longrightarrow\boxed{m = \frac{-9}{2}}} \end{equation}

Donats els vectors $\vec{u} = (3,1,-1)$ i $\vec{v} = (2,3,4)$, justifica:

Són linealment independents?

Els vectors no són proporcionals. Aleshores són linealment independents.

Completa fins una base de $R^3$ amb un vector que siga unitari i ortogonal a $\vec{u}$ i $\vec{v}$

El vector producte vectorial $\vec{u}\wedge\vec{v}$ és perpendicular al vector $\vec{u}$ i al vector $\vec{v}$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3 & 1 & -1 \\
2 & 3 & 4 \\
\end{vmatrix} = (7, -14, 7) = 7\cdot(1, -2, 1)}
\end{equation}

Calculem el seu mòdul: \begin{equation} \textcolor{blue}{||\vec{u}\wedge\vec{v}|| = \sqrt{7^2+(-14)^2+7^2} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}} \end{equation} Normalitzem, dividint pel mòdul: \begin{equation} \textcolor{blue}{\vec{a} = \frac{1}{7\sqrt{6}\cdot(7, -14, 7)} = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot(1, -2, 1)} \end{equation} i aquest és el vector buscat. Els tres vectors formen una base: $B=\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}\}$

Escriu $\vec{w} = (2,-1,3)$ com combinació lineal dels tres vectors anteriors.

Escriurem $\vec{w}$ com a combinació lineal dels vectors de la base:

\begin{equation} \textcolor{blue}{\vec{w} = x\cdot\vec{u}+y\cdot\vec{v}+z\cdot\vec{a}} \end{equation} \begin{equation} \textcolor{blue}{(2, -1, 3) = x\cdot(3, 1, -1)+y\cdot(2, 3, 4)+z\cdot(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})} \end{equation} Ens donarà un sistema de tres equacions amb tres incògnites, i aquest sistema és compatible determinat. La matriu de coeficients te rang tres ja que la formen els tres vectors de la base (i per tant linealment independents) La solució és: \begin{equation} \textcolor{blue}{x = \frac{-1}{42},\ y = \frac{19}{42},\ z = \frac{7}{6}\sqrt{6\cdot}\vec{a}} \end{equation}