Problema de geometria mètrica

Les torres de l’anomenada Porta d’Europa, a Madrid, tenen forma de prisma rectangular oblic. Utilitza el producte escalar, producte vectorial i producte mixt per calcular l’àrea de la base, l’altura i el volum de cada torre tenint en compte que $\vec{u}= (0, 35, 0)\ m$, $\vec{v} = (-35, 0, 0)\ m$, $\vec{w} = (30, 0, 114)\ m$.

Quina inclinació tenen les torres respecte a la vertical?

Per a calcular el volum, utilitzarem el producte mixt:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{V = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{w} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & 35 & 0 \\
-35 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}\cdot(30, 0, 114) =\
\textcolor{blue}{= (0, 0, 1225)\cdot(30, 0, 114) = 139650\ m^3}}
\end{equation}

L’àrea de la base esn la proporciona el mòdul del producte vectorial desl vectors que la formen:

\begin{equation}
{\textcolor{blue}{|(\vec{u}\wedge\vec{u})|=|(0, 0, 1225)| = 1225\ m^2}}
\end{equation}

Si tenim em compte que $\textcolor{black}{V = S_{base}\cdot h}$, aleshores tenim que:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{h = \frac{V}{S_{base}} = \frac{139650}{1225} = 114\ m}
\end{equation}

Podem fer ús del producte escalar per veure l’angle que formen els diferents vectors:

Els vectors que determinen la base de la torre $\vec{u}$ i $\vec{v}$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{u}\cdot\vec{v} = (0, 35, 0)\cdot(-35, 0, 0) = 0\longrightarrow\text{són ortogonals}}
\end{equation}

Aquests vectors són ortogonals i a més a més tenen el mateix mòdul. Aleshores la base de les torres és quadrada.

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{u}\cdot\vec{w} = (0, 35, 0)\cdot(30, 0, 114) = 0\longrightarrow\text{són també ortogonals}}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{v}\cdot\vec{w} = (-35, 0, 0)\cdot(30, 0, 114) = -1050}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\cos\alpha = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{w}||} = \frac{-1050}{35\cdot117.88} = -0.2545\longrightarrow\boxed{\alpha = 104º44’37»}}
\end{equation}

Aleshores la inclinació de les torres respecte de la vertical és de:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\boxed{\beta} = 104º44’37»-90º = \boxed{14º44’37»}}
\end{equation}