Problema de Física: Centrifugadora amb Acceleració Angular

Una centrifugadora de 12 cm de radi que està inicialment en repòs accelera uniformement durant 20 s. En aquest interval de temps la seva acceleració angular és 100 rad/s² i després manté la velocitat adquirida. a) Amb quina velocitat gira la centrifugadora quan fa 20 s que funciona? b) Quantes voltes ha fet la centrifugadora després de funcionar 50 s? c) Calcula l’acceleració tangencial i normal que, com a màxim, tenen els objectes a l’interior de la centrifugadora quan aquesta fa un minut que gira.

Per resoldre el problema, analitzem cada apartat utilitzant les equacions del moviment rotacional. Dades: radi \( r = 12 \, \text{cm} = 0.12 \, \text{m} \), acceleració angular \( \alpha = 100 \, \text{rad/s}^2 \), temps d’acceleració \( t_1 = 20 \, \text{s} \), i després la velocitat angular es manté constant.

Dades inicials

• Acceleració angular: \( \alpha = 100 \, \text{rad/s}^2 \)

• Temps d’acceleració: \( t_1 = 20 \, \text{s} \)

• Radi: \( r = 0.12 \, \text{m} \)

• Velocitat angular inicial: \( \omega_0 = 0 \, \text{rad/s} \)

• Després de \( t_1 = 20 \, \text{s} \), la velocitat angular es manté constant.

a) Velocitat angular als 20 s. La velocitat angular \( \omega \) es calcula amb:\[\omega = \omega_0 + \alpha t\]Substituïm:\[\omega = 0 + (100 \, \text{rad/s}^2)(20 \, \text{s}) = 2000 \, \text{rad/s}\]

Resposta a) La centrifugadora gira a 2000 rad/s als 20 s.

b) Nombre de voltes després de 50 s. Calculem l’angle total \( \theta \) recorregut en 50 s i el dividim per \( 2\pi \) (una volta = \( 2\pi \approx 6.2832 \, \text{rad} \)). Dividim en dues etapes:

1. Primers 20 s (acceleració constant): L’angle recorregut és:\[\theta_1 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2\]Substituïm:\[\theta_1 = 0 + \frac{1}{2} (100 \, \text{rad/s}^2)(20 \, \text{s})^2 = \frac{1}{2} (100)(400) = 20000 \, \text{rad}\]

2. De 20 s a 50 s (velocitat constant): La velocitat angular és constant (\( \omega = 2000 \, \text{rad/s} \)) durant \( t_2 = 50 \, \text{s} – 20 \, \text{s} = 30 \, \text{s} \). L’angle recorregut és:\[\theta_2 = \omega t = (2000 \, \text{rad/s})(30 \, \text{s}) = 60000 \, \text{rad}\]

3. Angle total:\[\theta_{\text{total}} = \theta_1 + \theta_2 = 20000 \, \text{rad} + 60000 \, \text{rad} = 80000 \, \text{rad}\]

4. Nombre de voltes:\[N = \frac{\theta_{\text{total}}}{2\pi} = \frac{80000}{6.2832} \approx 12732.4 \, \text{voltes}\]

Resposta b) La centrifugadora ha fet aproximadament 12732 voltes després de 50 s.

c) Acceleració tangencial i normal al cap d’1 minut (60 s). A \( t = 60 \, \text{s} \), la velocitat angular és constant (\( \alpha = 0 \, \text{rad/s}^2 \)).

1. Acceleració tangencial:\[a_t = \alpha r\]Com que \( \alpha = 0 \):\[a_t = 0 \cdot 0.12 = 0 \, \text{m/s}^2\]

2. Acceleració normal (centrípeta):\[a_n = \omega^2 r\]La velocitat angular és \( \omega = 2000 \, \text{rad/s} \). Substituïm:\[a_n = (2000 \, \text{rad/s})^2 (0.12 \, \text{m}) = (4000000 \, \text{rad}^2/\text{s}^2)(0.12 \, \text{m}) = 480000 \, \text{m/s}^2\]

Resposta c)

• Acceleració tangencial màxima: 0 m/s²

• Acceleració normal màxima: 480000 m/s²

Resum de respostes

a) 2000 rad/s

b) 12732 voltes

c) Acceleració tangencial: 0 m/s², Acceleració normal: 480000 m/s²