Problema de conserves

Una tenda posseeix $3$ tipus de conserves, $A$, $B$ i $C$. El preu mitjà de les $3$ conserves és de $0{,}90$ €. Un client compra $30$ unitats de $A$, $20$ de $B$ i $10$ de $C$, debinant abonar $56$ €. Otro compra $20$ unitats de $A$ i $25$ de $C$ abona 31 €. Calcula el preu de una unitat de A, altra de $B$ i altra de $C$.

Siguin: \begin{align*} a &= \text{preu d’una unitat de } A \quad (\text{en €}) \\ b &= \text{preu d’una unitat de } B \quad (\text{en €}) \\ c &= \text{preu d’una unitat de } C \quad (\text{en €}) \end{align*}

Dades de l’enunciat

1. Preu mitjà de les 3 conserves: $\dfrac{a + b + c}{3} = 0{,}90$ \[ \boxed{a + b + c = 2{,}70} \quad (1) \]

2. Primer client: $30A + 20B + 10C = 56$ € \[ \boxed{30a + 20b + 10c = 56} \quad (2) \]

3. Segon client: $20A + 25C = 31$ € \[ \boxed{20a + 25c = 31} \quad (3) \]

Sistema d’equacions

\[ \begin{cases} \quad a + b + c = 2{,}70 \quad &(1) \\ 30a + 20b + 10c = 56 \quad &(2) \\ 20a + 25c = 31 \quad &(3) \end{cases} \]

Simplifiquem l’equació (2) dividint per 10: \[ 3a + 2b + c = 5{,}6 \quad (2′) \]

Ara tenim: \[ \begin{cases} a + b + c = 2{,}70 \quad &(1) \\ 3a + 2b + c = 5{,}6 \quad &(2′) \\ 20a + 25c = 31 \quad &(3) \end{cases} \]

Restem (1) de (2′): \[ (3a + 2b + c) – (a + b + c) = 5{,}6 – 2{,}70 \] \[ 2a + b = 2{,}9 \quad (4) \]

Resolució de $a$ i $c$ amb (3)

De l’equació (3): $20a + 25c = 31$. Simplifiquem dividint per 5: \[ 4a + 5c = 6{,}2 \quad (3′) \]

Aïllem $a$: \[ 4a = 6{,}2 – 5c \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6{,}2 – 5c}{4} = 1{,}55 – 1{,}25c \quad (5) \]

Substituïm (5) a l’equació (4): $2a + b = 2{,}9$ \[ 2(1{,}55 – 1{,}25c) + b = 2{,}9 \] \[ 3{,}1 – 2{,}5c + b = 2{,}9 \] \[ b – 2{,}5c = 2{,}9 – 3{,}1 = -0{,}2 \] \[ \boxed{b = 2{,}5c – 0{,}2} \quad (6) \]

Substituïm (5) i (6) a l’equació (1): $a + b + c = 2{,}70$ \[ (1{,}55 – 1{,}25c) + (2{,}5c – 0{,}2) + c = 2{,}70 \]

Sumem els termes constants i els coeficients de $c$: \[ 1{,}55 – 0{,}2 + (-1{,}25c + 2{,}5c + c) = 2{,}70 \] \[ 1{,}35 + 2{,}25c = 2{,}70 \] \[ 2{,}25c = 2{,}70 – 1{,}35 = 1{,}35 \] \[ c = \frac{1{,}35}{2{,}25} = 0{,}6 \]

\[ \boxed{c = 0{,}60} \]

Ara calculem $a$ amb (5): \[ a = 1{,}55 – 1{,}25 \cdot 0{,}6 = 1{,}55 – 0{,}75 = 0{,}80 \]

\[ \boxed{a = 0{,}80} \]

I $b$ amb (6): \[ b = 2{,}5 \cdot 0{,}6 – 0{,}2 = 1{,}5 – 0{,}2 = 1{,}3 \]

\[ \boxed{b = 1{,}30} \]