Problema de circulació d’aigua en un sistema de calefacció

Per tota una casa circula aigua a través d’un sistema de calefacció. L’aigua es bombeja amb una velocitat de $0,5$ m/s per una canonada de $10$ cm de diàmetre situada al soterrani, on la pressió és de $3$ atm. Al segon pis, $5$ metres més amunt, l’aigua circula per una canonada de $6$ cm de diàmetre. Determina: 1. La velocitat de circulació de l’aigua a la canonada del segon pis. 2. La pressió de l’aigua en aquesta canonada.Suposa que el fluid és incompressible i que no hi ha pèrdues d’energia per fricció.

Dades:

Canonada al soterrani (punt 1): Velocitat $v_1 = 0{,}5 \, \text{m/s}$ Diàmetre $d_1 = 10 \, \text{cm} = 0{,}10 \, \text{m}$ Pressió $P_1 = 3 \, \text{atm}$ Alçada $z_1 = 0 \, \text{m}$

Canonada al segon pis (punt 2): Diàmetre $d_2 = 6 \, \text{cm} = 0{,}06 \, \text{m}$ Alçada $z_2 = 5 \, \text{m}$

Es demanen: velocitat $v_2$ i pressió $P_2$

1. Càlcul de la velocitat amb l’equació de continuïtat. Per un fluid incompressible: $$S_1 v_1 = S_2 v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{S_1}{S_2} v_1$$

Àrees de les seccions:

• $S_1 = \pi \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 = \pi (0{,}05)^2 = 7{,}85 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^2$

• $S_2 = \pi \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = \pi (0{,}03)^2 = 2{,}83 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^2$

$v_2 = \frac{7{,}85 \cdot 10^{-3}}{2{,}83 \cdot 10^{-3}} \cdot 0{,}5 = 1{,}39 \, \text{m/s} \approx \boxed{1{,}4 \, \text{m/s}}$

2. Càlcul de la pressió amb l’equació de Bernoulli. $$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g z_2$$ Substituïm valors:

• $P_1 = 3 \cdot 1{,}013 \cdot 10^5 = 3{,}039 \cdot 10^5 \, \text{Pa}$

• $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$

• $g = 9{,}8 \, \text{m/s}^2$* $v_1 = 0{,}5 \, \text{m/s} \quad v_2 = 1{,}4 \, \text{m/s}$

• $z_1 = 0 \, \text{m} \quad z_2 = 5 \, \text{m}$

$$3{,}039 \cdot 10^5 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (0{,}5)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (1{,}4)^2 + 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 5$$ $$3{,}039 \cdot 10^5 + 125 = P_2 + 980 + 49{,}000$$ $$P_2 = 3{,}039{,}125 – 49{,}980 = \boxed{2{,}540{,}145 \, \text{Pa}} \approx \boxed{2{,}5 \, \text{atm}}$$

Resum de resultats:

• Velocitat al segon pis: $\boxed{v_2 = 1{,}4 \, \text{m/s}}$

• Pressió al segon pis: $\boxed{P_2 \approx 2{,}5 \, \text{atm}}$

Conclusió: A mesura que l’aigua puja 5 metres i passa a una canonada més estreta:

• La velocitat augmenta per conservació del cabal.

• La pressió disminueix per compensar l’increment d’energia cinètica i potencial (segons Bernoulli).