Problema de cinemàtica

Una atracció de fira consisteix en un ninot que puja per un carril a una velocitat constant de \( 2 \, \mathrm{m/s} \). Des d’una distància \( d \) es dispara un projectil amb una velocitat inicial de \( 15 \, \mathrm{m/s} \) i un angle d’inclinació de \( 30^\circ \). En el moment del dispar, el projectil es troba a una altura de \( 1,28 \, \mathrm{m} \) per sobre del ninot.

a) Expressar en forma vectorial la velocitat i la posició inicial del projectil, així com l’acceleració a la qual està sotmès durant el vol. \begin{equation}\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{r}}_0 &= \mathrm{y}_0 \overrightarrow{\mathrm{j}} = 1,28 \overrightarrow{\mathrm{j}} \\\overrightarrow{\mathrm{v}}_0 &= \mathrm{v}_0 \cos \alpha \overrightarrow{\mathrm{i}} + \mathrm{v}_0 \sin \alpha \overrightarrow{\mathrm{j}} = 13 \overrightarrow{\mathrm{i}} + 7,5 \overrightarrow{\mathrm{j}} \\\overrightarrow{\mathrm{a}} &= -\mathrm{g} \overrightarrow{\mathrm{j}} = -9,8 \overrightarrow{\mathrm{j}}\end{aligned}\end{equation}

b) Expressar en components la velocitat i la posició del projectil en funció del temps. \begin{equation}\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{r}} &\Rightarrow \begin{cases}\mathrm{x} = \mathrm{v}_0 \cos \alpha \mathrm{t} = 13 \mathrm{t} \\\mathrm{y} = \mathrm{y}_0 + \mathrm{v}_0 \sin \alpha \mathrm{t} – \frac{1}{2} \mathrm{g} \mathrm{t}^2 = 1,28 + 7,5 \mathrm{t} – 4,9 \mathrm{t}^2\end{cases} \\\overrightarrow{\mathrm{v}} &\Rightarrow \begin{cases}\mathrm{v}_{\mathrm{x}} = \mathrm{v}_0 \cos \alpha = 13 \\\mathrm{v}_{\mathrm{y}} = \mathrm{v}_0 \sin \alpha – \mathrm{g} \mathrm{t} = 7,5 – 9,8 \mathrm{t}\end{cases}\end{aligned}\end{equation}

c) Determinar la distància \( d \) a la qual s’ha de situar la pistola perquè el projectil alcanci l’objecte. Temps que tarda el projectil a arribar al carril (\( x = d \)):\begin{equation}\mathrm{x} = 13 \mathrm{t} = \mathrm{d} \Rightarrow \mathrm{t} = \frac{\mathrm{d}}{13}\end{equation}En aquest temps, la coordenada \( y \) de l’objecte (\( y_m \)) i la del projectil (\( y \)) són:\begin{equation}\begin{aligned}y_m &= v_m \mathrm{t} = 2 \frac{\mathrm{d}}{13} \\y &= 1,28 + 7,5 \mathrm{t} – 4,9 \mathrm{t}^2 = 1,28 + 7,5 \frac{\mathrm{d}}{13} – 4,9 \left(\frac{\mathrm{d}}{13}\right)^2\end{aligned}\end{equation}Igualant ambdues expressions i resolent l’equació en \( d \) s’obté:\begin{equation}\mathrm{y} = \mathrm{y}_{\mathrm{m}} \Rightarrow \mathrm{d} \approx 17 \, \mathrm{m}\end{equation}

d) Calcular el mòdul de l’acceleració tangencial en l’instant en què el projectil alcansi l’objecte. Mòdul de la velocitat en funció del temps:\begin{equation}|\overrightarrow{\mathrm{v}}| = \left(13^2 + (7,5 – 9,8 \mathrm{t})^2\right)^{\frac{1}{2}}\end{equation}Expressió per a l’acceleració tangencial:\begin{equation}a_T = \frac{d|\overrightarrow{\mathrm{v}}|}{d \mathrm{t}} = \frac{1}{2} \left(13^2 + (7,5 – 9,8 \mathrm{t})^2\right)^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (7,5 – 9,8 \mathrm{t}) (-9,8)\end{equation}Sustituint en l’instant de l’impacte \( \mathrm{t} = \frac{\mathrm{d}}{13} = 1,3 \, \mathrm{s} \):\begin{equation}\mathrm{a}_{\mathrm{T}} = 3,66 \, \mathrm{m/s}^2\end{equation}