Problema d’aproximació de la binomial a la normal. Enquesta de satisfacció

Una botiga en línia està analitzant les valoracions dels seus clients sobre un producte específic. Històricament, han observat que el $70\%$ de les valoracions són positives. La botiga vol saber la probabilitat que, en una mostra de $150$ valoracions recollides aleatòriament, menys de $100$ siguin positives.

Per resoldre aquest problema, podem modelar la situació utilitzant una distribució binomial i després aproximar-la a una distribució normal, ja que la mida de la mostra és prou gran.

1. Paràmetres de la distribució binomial

La distribució binomial es defineix amb els següents paràmetres:

• $n = 150$ (nombre de valoracions recollides)
• $p = 0,70$ (proporció de valoracions històricament positives)

Ens interessa trobar la probabilitat que el nombre de valoracions positives $X$ sigui menor que $100$, és a dir, $P(X < 100)$.

2. Aproximació normal

Verifiquem les condicions per a l’aproximació normal:

• $n \cdot p = 150 \cdot 0,70 = 105$
• $n \cdot (1 – p) = 150 \cdot 0,30 = 45$

Ambdós valors són més grans que $5$, així que podem utilitzar l’aproximació normal.

La distribució normal que aproxima la distribució binomial tindrà:

• Mitjana $\mu = n \cdot p = 105$
• Desviació estàndard $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} = \sqrt{150 \cdot 0,70 \cdot 0,30} = \sqrt{31,5} \approx 5,61$

3. Normalització i correcció per continuïtat

Hem de calcular $P(X < 100)$, però per utilitzar la distribució normal, hem de fer servir la correcció per continuïtat:

$$P(X < 100) \approx P\left(X \leq 99,5\right)$$

A continuació, normalitzem $X = 99,5$ a un $z$-score:

$$z = \frac{99,5 – 105}{5,61} \approx \frac{-5,5}{5,61} \approx -0,980$$

4. Consultar la taula de valors de la distribució normal

Ara consultem una taula de distribució normal estàndard o utilitzem funcions estadístiques per trobar la probabilitat corresponent a aquest $z$-score:

$$P(Z \leq -0,980) \approx 0,1635$$

5. Resultat final

Per tant, la probabilitat que en una mostra de $150$ valoracions, menys de $100$ siguin positives és aproximadament $0,1635$ o $16,35\%$.