Problema camp gravitatori. Setembre 2010

Un planeta té un diàmetre de $51.100$ km i l’acceleració de la gravetat a la seva superfície té un valor de $8,69$ m/s².

a) Trobar la massa del planeta

La intensitat del camp gravitatori (acceleració de la gravetat) generada per un cos de massa (M) a una distància $r$ del seu centre és:
$$g = \frac{G \cdot M}{r^2} \implies M = \frac{g \cdot r^2}{G}$$
Substituint valors:
$$M = \frac{8,69 \cdot (2,555 \cdot 10^7)^2}{6,67 \cdot 10^{-11}} = 8,5 \cdot 10^{25} \, \text{kg}$$

b) Trobar la velocitat d’escapament des de la seva superfície

La velocitat d’escapament és la velocitat mínima que cal proporcionar a un cos situat dins d’un camp gravitatori per escapar de la seva influència. Quan el cos assoleix aquesta situació, la seva energia mecànica és zero:
$$-\frac{G \cdot M \cdot m}{R} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_e^2 = 0 \implies v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}$$
Substituint valors:
$$v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8,5 \cdot 10^{25}}{2,555 \cdot 10^7}} = 2,1 \cdot 10^4 \, \text{m/s}$$

c) Trobar el valor del camp gravitatori a una alçada de $51.100$ km sobre la seva superfície

$$g = \frac{G \cdot M}{r^2}$$
En aquest cas, la distància al centre del planeta serà:
$$r = 2,555 \cdot 10^7 + 5,11 \cdot 10^7 = 7,665 \cdot 10^7 \, \text{m}$$
Substituint valors:
$$g = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8,5 \cdot 10^{25}}{(7,665 \cdot 10^7)^2} = 0,96 \, \text{N/kg} \, \text{o} \, \text{m/s}^2$$