Problema camp gravitatori. Juny 2004 Andalusia

Dos satèl·lits idèntics, $A$ i $B$, descriuen òrbites circulars de diferent radi ($R_A>R_B$) al voltant de la Terra. Respon raonadament a les següents preguntes:

a) Quin dels dos té més energia cinètica?

b) Si els dos satèl·lits estiguessin en la mateixa òrbita ($R_A=R_B$) i tinguessin massa diferent ($m_A < m_B$), quin dels dos es mouria amb més velocitat? Quin d’ells tindria més energia cinètica?

a) Energia cinètica en funció del radi

En primer lloc, escrivim el valor de l’energia cinètica d’un cos en òrbita en funció del seu radi:

$$v = \sqrt{\frac{MG}{r}}, \quad F_T = \frac{mMG}{r^2}, \quad E_T = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{mMG}{2r}.$$

Com que l’energia és inversament proporcional al radi, podem concloure que, com més gran sigui el radi de l’òrbita del planeta, menor serà el valor de la seva energia cinètica.
El satèl·lit amb més energia cinètica és el B perquè ($R_A > R_B$).

b) Velocitat i energia cinètica

A partir de l’expressió de la velocitat d’un satèl·lit en òrbita $v_0$, podem deduir que aquesta depèn del radi de l’òrbita, però no de la massa dels satèl·lits. Com que en aquest cas el radi de l’òrbita és el mateix per als dos satèl·lits, tots dos tindran la mateixa velocitat.

El cas de l’energia cinètica és diferent, ja que depèn de la massa $m$ dels satèl·lits (com es pot veure a l’expressió anterior). Per tant, tindrà més energia cinètica el satèl·lit B, que té més massa.