Problema camp elèctric. Setembre 2017

Dues càrregues positives idèntiques de valor $q_1 = q_2 = 4,0 \, \mu \text{C}$ $1 \, \mu \text{C} = 10^{-6} \, \text{C}$ estan situades sobre l’eix X en les posicions $x_1 = -5 \, \text{cm}$ i $x_2 = 5 \, \text{cm}$. a) Calcular el vector camp elèctric creat per les dues càrregues en el punt $x = 0, y = 3 \, \text{cm}$. Representar-lo gràficament. b) Quina és la força que experimentaria una càrrega de $2 \, \mu \text{C}$ col·locada a les coordenades $(x = 5, y = 3)$ en cm?

$r_A = r_B = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \, \text{cm}$

$\alpha = \beta = \arctan{\frac{3}{5}} = 31^\circ$

Per simetria, les càrregues són iguals (en mòdul) i les distàncies també són iguals, per tant, les components horitzontals són iguals i de sentit contrari, anul·lant-se entre elles. Així, el camp resultant queda com la suma de les dues components verticals, que són iguals entre si.

$$\vec{E}C = \vec{E}{A,C} + \vec{E}{B,C} = 2 \cdot (\vec{E}{A,C})_y = 2 K \frac{q}{(5)^2} \cdot (\sin \alpha \cdot \hat{j})$$

$$\vec{E}_C = 2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{34} \cdot 10^{-2})^2} \cdot (\sin 31^\circ \cdot \hat{j}) = 1,09 \cdot 10^7 \hat{j} \, \text{N/C}$$

$r_{A,D} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{109} \, \text{cm}$

$r_{B,D} = 3 \, \text{cm}$

$\alpha = \beta = \arctan \frac{3}{10} = 16,7^\circ$

$$\vec{F}D = \vec{F}{A,D} + \vec{F}_{B,D}$$

$$\vec{F}D = K \frac{q_D \cdot q_A}{(r{A,D})^2} \cdot (\cos 16,7^\circ \, \hat{i} + \sin 16,7^\circ \, \hat{j}) + K \frac{q_D \cdot q_B}{(r_{B,D})^2} \cdot \hat{j}$$

Substituint els valors:

$$\vec{F}_D = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{109} \cdot 10^{-2})^2} \cdot (\cos 16,7^\circ \, \hat{i} + \sin 16,7^\circ \, \hat{j}) + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(3 \cdot 10^{-2})^2} \cdot \hat{j}$$

$$\vec{F}_D = 6,3 \, \hat{i} + 81,9 \, \hat{j} \, \text{N}$$