LEMNISCATA
Matemàtiques
Suposem que una fàbrica produeix xips de memòria i que, segons els seus controls de qualitat, el $3\%$ dels xips són defectuosos. Si la fàbrica produeix $5000$ xips en un dia, quina és la probabilitat que més de $150$ xips siguin defectuosos?
Aquest problema es pot abordar utilitzant l’aproximació normal a la distribució binomial. Aquí tenim una situació amb una gran mida de mostra $5000$ xips i una probabilitat petita d’èxit ($3\%$ o $0,03$), la qual cosa justifica l’ús d’aquesta aproximació.
La distribució binomial es defineix pels següents paràmetres:
Ens interessa trobar la probabilitat que més de $150$ xips siguin defectuosos, és a dir, $P(X > 150)$.
Calculem la mitjana $\mu$ i la desviació estàndard $\sigma$ de la distribució binomial:
$$\mu = n \cdot p = 5000 \cdot 0,03 = 150$$
$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} = \sqrt{5000 \cdot 0,03 \cdot 0,97} = \sqrt{145,5} \approx 12,06$$
Per calcular la probabilitat $P(X > 150)$, utilitzem la correcció per continuïtat:
$$P(X > 150) = P(X \geq 151) \approx P\left(Z \geq \frac{150,5 – 150}{12,06}\right)$$
Convertim a $z$-score:
$$z = \frac{150,5 – 150}{12,06} \approx \frac{0,5}{12,06} \approx 0,0415$$
Utilitzem una taula de valors de la distribució normal estàndard (o funcions estadístiques) per trobar la probabilitat corresponent a aquest $z$-score:
$$P(Z \geq 0,0415) \approx 0,4834$$
La probabilitat que més de $150$ xips siguin defectuosos és $P(X > 150) \approx 1 – 0,4834 = 0,5166$.
Així doncs, la probabilitat que més de $150$ dels $5000$ xips siguin defectuosos és aproximadament $0,517$ o $51,7\%$.