Problema aproximació binomial a normal. Fàbrica de xips de memòria

Problema aproximació binomial a normal. Fàbrica de xips de memòria
10 d'agost de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

Suposem que una fàbrica produeix xips de memòria i que, segons els seus controls de qualitat, el $3\%$ dels xips són defectuosos. Si la fàbrica produeix $5000$ xips en un dia, quina és la probabilitat que més de $150$ xips siguin defectuosos?

Aquest problema es pot abordar utilitzant l’aproximació normal a la distribució binomial. Aquí tenim una situació amb una gran mida de mostra $5000$ xips i una probabilitat petita d’èxit ($3\%$ o $0,03$), la qual cosa justifica l’ús d’aquesta aproximació.

1. Paràmetres de la distribució binomial

La distribució binomial es defineix pels següents paràmetres:

  • $n = 5000$ (nombre de xips produïts)
  • $p = 0,03$ (probabilitat que un xip sigui defectuós)

Ens interessa trobar la probabilitat que més de $150$ xips siguin defectuosos, és a dir, $P(X > 150)$.

2. Aproximació normal

Calculem la mitjana $\mu$ i la desviació estàndard $\sigma$ de la distribució binomial:

$$\mu = n \cdot p = 5000 \cdot 0,03 = 150$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} = \sqrt{5000 \cdot 0,03 \cdot 0,97} = \sqrt{145,5} \approx 12,06$$

3. Correcció per continuïtat i normalització

Per calcular la probabilitat $P(X > 150)$, utilitzem la correcció per continuïtat:

$$P(X > 150) = P(X \geq 151) \approx P\left(Z \geq \frac{150,5 – 150}{12,06}\right)$$

Convertim a $z$-score:

$$z = \frac{150,5 – 150}{12,06} \approx \frac{0,5}{12,06} \approx 0,0415$$

4. Consultar la taula de valors de la distribució normal

Utilitzem una taula de valors de la distribució normal estàndard (o funcions estadístiques) per trobar la probabilitat corresponent a aquest $z$-score:

$$P(Z \geq 0,0415) \approx 0,4834$$

5. Resultat final

La probabilitat que més de $150$ xips siguin defectuosos és $P(X > 150) \approx 1 – 0,4834 = 0,5166$.

Així doncs, la probabilitat que més de $150$ dels $5000$ xips siguin defectuosos és aproximadament $0,517$ o $51,7\%$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *