LEMNISCATA
Matemàtiques
En una fàbrica de joguines, s’ha observat que cada joguina té un $10\%$ de probabilitat de presentar algun petit defecte. Per un control de qualitat, s’analitzen $150$ joguines. Volem calcular la probabilitat que el nombre de joguines defectuoses sigui entre $10$ i $20$, incloent ambdós valors
Aquest problema es pot abordar utilitzant una distribució binomial, però, donada la mida de la mostra ($150$ joguines) i la probabilitat relativament petita de defecte $10\%$, és més convenient utilitzar l’aproximació normal a la distribució binomial.
La distribució binomial es defineix pels següents paràmetres:
Volem calcular la probabilitat que el nombre de joguines defectuoses $X$ sigui entre 10 i 20 (inclosos). És a dir, volem calcular $P(10 \leq X \leq 20)$.
Per fer l’aproximació normal, primer cal calcular la mitjana $\mu$ i la desviació estàndard $\sigma$ de la distribució binomial:
$$\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0,10 = 15$$
$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} = \sqrt{150 \cdot 0,10 \cdot 0,90} = \sqrt{13,5} \approx 3,674$$
Per utilitzar l’aproximació normal, hem d’aplicar la correcció per continuïtat. Això significa que hem de considerar:
Aleshores, necessitem calcular els valors $z$ per $9,5$ i $20,5$:
$$z_{9,5} = \frac{9,5 – 15}{3,674} \approx \frac{-5,5}{3,674} \approx -1,497$$
$$z_{20,5} = \frac{20,5 – 15}{3,674} \approx \frac{5,5}{3,674} \approx 1,497$$
Utilitzem una taula de valors de la distribució normal estàndard (o funcions estadístiques) per trobar les probabilitats corresponents a aquests $z$-scores:
$$P(Z \leq -1,497) \approx 0,0676$$
$$P(Z \leq 1,497) \approx 0,9324$$
La probabilitat que el nombre de joguines defectuoses sigui entre $10$ i $20$ és:
$$P(10 \leq X \leq 20) = P(Z \leq 1,497) – P(Z \leq -1,497) = 0,9324 – 0,0676 = 0,8648$$
Per tant, la probabilitat que entre $10$ i $20$ de les $150$ joguines siguin defectuoses és aproximadament $0,865$ o $86,5\%$.