Problema aproximació binomial a normal. Fàbrica de joguines

Problema aproximació binomial a normal. Fàbrica de joguines
10 d'agost de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

En una fàbrica de joguines, s’ha observat que cada joguina té un $10\%$ de probabilitat de presentar algun petit defecte. Per un control de qualitat, s’analitzen $150$ joguines. Volem calcular la probabilitat que el nombre de joguines defectuoses sigui entre $10$ i $20$, incloent ambdós valors

Aquest problema es pot abordar utilitzant una distribució binomial, però, donada la mida de la mostra ($150$ joguines) i la probabilitat relativament petita de defecte $10\%$, és més convenient utilitzar l’aproximació normal a la distribució binomial.

1. Paràmetres de la distribució binomial

La distribució binomial es defineix pels següents paràmetres:

  • $n = 150$ (nombre de joguines analitzades)
  • $p = 0,10$ (probabilitat que una joguina sigui defectuosa)

Volem calcular la probabilitat que el nombre de joguines defectuoses $X$ sigui entre 10 i 20 (inclosos). És a dir, volem calcular $P(10 \leq X \leq 20)$.

2. Aproximació normal

Per fer l’aproximació normal, primer cal calcular la mitjana $\mu$ i la desviació estàndard $\sigma$ de la distribució binomial:

$$\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0,10 = 15$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} = \sqrt{150 \cdot 0,10 \cdot 0,90} = \sqrt{13,5} \approx 3,674$$

3. Correcció per continuïtat i normalització

Per utilitzar l’aproximació normal, hem d’aplicar la correcció per continuïtat. Això significa que hem de considerar:

  • $P(X \geq 10)$ es converteix en $P(X \geq 9,5)$
  • $P(X \leq 20)$ es converteix en $P(X \leq 20,5)$

Aleshores, necessitem calcular els valors $z$ per $9,5$ i $20,5$:

$$z_{9,5} = \frac{9,5 – 15}{3,674} \approx \frac{-5,5}{3,674} \approx -1,497$$

$$z_{20,5} = \frac{20,5 – 15}{3,674} \approx \frac{5,5}{3,674} \approx 1,497$$

4. Consultar la taula de valors de la distribució normal

Utilitzem una taula de valors de la distribució normal estàndard (o funcions estadístiques) per trobar les probabilitats corresponents a aquests $z$-scores:

$$P(Z \leq -1,497) \approx 0,0676$$

$$P(Z \leq 1,497) \approx 0,9324$$

5. Calcular la probabilitat total

La probabilitat que el nombre de joguines defectuoses sigui entre $10$ i $20$ és:

$$P(10 \leq X \leq 20) = P(Z \leq 1,497) – P(Z \leq -1,497) = 0,9324 – 0,0676 = 0,8648$$

Per tant, la probabilitat que entre $10$ i $20$ de les $150$ joguines siguin defectuoses és aproximadament $0,865$ o $86,5\%$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *