Problema amb camp magnètic i camp elèctric

Una càrrega puntual de $2 \mu C$ realitza un moviment rectilini uniforme amb velocitat $\vec{v} = 2 \vec{i} \text{ m/s}$ en una regió on existeixen un camp elèctric i un camp magnètic uniformes. El camp magnètic és $\vec{B} = 5 \vec{j} \text{ T}$. a) Calcula el valor i la direcció de la força magnètica que actua sobre la càrrega. b) Calcula el valor i la direcció del camp elèctric. c) Calcula el treball que el camp elèctric realitza sobre la càrrega quan aquesta es desplaça des de l’origen fins al punt $(x = 5, y = 0, z = 0)$ m.

a) Calcula el valor i la direcció de la força magnètica que actua sobre la càrrega.

La partícula està sotmesa a la força de Lorentz:
\begin{equation}
\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})
\end{equation}

Calculant el producte vectorial:
\begin{equation}
\vec{F} = 2 \times 10^{-6} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 2 \times 10^{-6} (10 \vec{k}) = 2 \times 10^{-5} \vec{k} \text{ N}
\end{equation}

b) Calcula el valor i la direcció del camp elèctric.

Perquè l’electró es mogui en línia recta, la força neta sobre ell ha de ser nul·la. Això implica que la força elèctrica ha de tenir el mateix mòdul i direcció que la força magnètica, però sentit contrari:
\begin{equation}
\vec{F}_e = -\vec{F}_m
\end{equation}
\begin{equation}
q \vec{E} = – \vec{F}_m
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{E} = \frac{- \vec{F}_m}{q} = \frac{- (2 \times 10^{-5} \vec{k})}{2 \times 10^{-6}} = -10 \vec{k} \text{ N/C}
\end{equation}

c) Calcula el treball que el camp elèctric realitza sobre la càrrega quan aquesta es desplaça des de l’origen fins al punt $(x = 5, y = 0, z = 0)$ m.

La força elèctrica és en tot moment perpendicular al desplaçament, per tant:
\begin{equation}
W = \vec{F}_e \cdot \Delta \vec{x} = 0 \text{ J}
\end{equation}