LEMNISCATA
Matemàtiques
$-0.04t ^ 2 + 2.4t$ és contínua en $\RR$ i per tant en $(0,40)$
$\frac{40t-320}{t}$ és contínua en $\RR -{0}$ i per tant en $(40,50)$
Vegem la contiuïtat en $t = 40$
Com els $3$ resultats anteriors coincideixen, la funció és contínua en $t = 40$ i per tant, és contínua en tot l’interval $[0,50]$.
En $(0,40)$ és derivable i la seva derivada és $-0.08t + 2.4$
En $(40,50)$ és derivable i la seva derivada és $\displaystyle\frac{40 \cdot t – (40t-320) \cdot 1}{t^2} = \frac{320}{t^2}$
Vegem la derivabilitat en $t = 40$
Com que no coincideixen les derivades laterals, no és derivable en $t = 40$
Per tant, $B (t)$ és derivable en $(0,50) – {40 }$ i la seva derivada és:
$$B (t) = \left\{\begin{array}{lr}-0.08t + 2.4 & 0 \leq t <40 & \\ \displaystyle\frac{320}{t^2} & 40 <t <50\end {array}\right.$$
$$-0.08t + 2.4=0 \longrightarrow t=\frac{2.4}{0.08}=30
\frac{320}{t^2} =0 \longrightarrow\ \mathrm{Sense Solució}$$
Els intervals a considerar són:
$$(0,30) (30,40) (40,50)$$
Prenem un punt de cada interval i analitzem el signe de la derivada
Tenim un màxim local en $t=30$ (El vèrtex de la paràbola) i un altre màxim local en $t = 50$ (el punt més alt del segon tros)
Per tant, els màxims beneficis són 36000 euros, que s’obtenen als 30 anys.