Problema 4. Examen selectivitat País Valencià matemàtiques II 2025

Donada la funció real de variable real $f(x) = x|x-2|$, a) Representa la regió compresa entre la gràfica de la funció $f$, l’eix d’abscisses (eix OX) i les rectes $x = -1$ i $x = 5$. b) Calcula l’àrea de la regió anterior.

a) Representació de la regió. Per representar la regió compresa entre la gràfica de $f(x) = x|x-2|$, l’eix d’abscisses i les rectes $x = -1$ i $x = 5$, primer analitzem la funció. Com que el valor absolut $|x-2|$ canvia de comportament a $x=2$, definim la funció per trossos:

• Per a $x < 2$, $|x-2| = 2-x$, així: \[ f(x) = x(2-x) = 2x – x^2. \]

• Per a $x \geq 2$, $|x-2| = x-2$, així: \[ f(x) = x(x-2) = x^2 – 2x. \]

Punts clau:

• A $x = -1$: $f(-1) = (-1)|-1-2| = (-1) \cdot 3 = -3$.

• A $x = 0$: $f(0) = 0|0-2| = 0$.

• A $x = 1$: $f(1) = 1|1-2| = 1$.- A $x = 2$: $f(2) = 2|2-2| = 0$.

• A $x = 5$: $f(5) = 5|5-2| = 5 \cdot 3 = 15$.

La funció creua l’eix $x$ quan $f(x) = 0$:\[x|x-2| = 0 \implies x = 0 \text{ o } |x-2| = 0 \implies x = 0 \text{ o } x = 2.\]

Comportament de $f(x)$:

• Per a $x < 0$, $f(x) < 0$ (sota l’eix $x$).

• Per a $0 < x < 2$, $f(x) > 0$ (sobre l’eix $x$).

• Per a $x > 2$, $f(x) > 0$ (sobre l’eix $x$).

La regió està delimitada per:

• L’eix $x$ ($y = 0$).

• Les rectes verticals $x = -1$ i $x = 5$.

• La gràfica de $f(x)$, que és sota l’eix $x$ per a $-1 \leq x < 0$ i sobre l’eix $x$ per a $0 < x \leq 5$.

Així, la regió és:

• De $x = -1$ a $x = 0$, entre $y = f(x)$ (negatiu) i $y = 0$ (sobre la corba).

• De $x = 0$ a $x = 5$, entre $y = 0$ i $y = f(x)$ (sota la corba).

Per representar-la gràficament, es pot utilitzar el següent codi per a un gràfic amb punts clau:\[\begin{array}{c|ccccccccccccc}x & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 & 4 & 4.5 & 5 \\ \hline f(x) & -3 & -1.25 & 0 & 0.75 & 1 & 0.75 & 0 & 1.25 & 3 & 5.25 & 8 & 11.25 & 15 \\\end{array}\]

Aquest gràfic mostra la corba de $f(x)$ i la regió delimitada.

b) Càlcul de l’àrea. Per calcular l’àrea de la regió, considerem l’àrea entre la gràfica i l’eix $x$, que requereix utilitzar $|f(x)|$ perquè l’àrea és sempre positiva. Dividim l’interval $[-1, 5]$ segons els punts on $f(x)$ creua l’eix $x$ ($x = 0$ i $x = 2$):

• De $x = -1$ a $x = 0$, $f(x) < 0$, l’àrea és $\int_{-1}^{0} -f(x) \, dx$.

• De $x = 0$ a $x = 2$, $f(x) \geq 0$, l’àrea és $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$.

• De $x = 2$ a $x = 5$, $f(x) > 0$, l’àrea és $\int_{2}^{5} f(x) \, dx$.

L’àrea total és:\[\text{Àrea} = \int_{-1}^{0} -f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx.\]

$\textbf{Pas 1: $\int_{-1}^{0} -f(x) \, dx$}$ Per a $x < 2$, $f(x) = 2x – x^2$, així $-f(x) = x^2 – 2x$.\[\int_{-1}^{0} (x^2 – 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} – x^2 \right]_{-1}^{0} = (0 – 0) – \left( \frac{(-1)^3}{3} – (-1)^2 \right) = 0 – \left( -\frac{1}{3} – 1 \right) = \frac{4}{3}.\]

$\textbf{Pas 2: $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$}$ Per a $0 \leq x < 2$, $f(x) = 2x – x^2$:\[\int_{0}^{2} (2x – x^2) \, dx = \left[ x^2 – \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 4 – \frac{8}{3} \right) – (0) = \frac{12}{3} – \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.\]

$\textbf{Pas 3: $\int_{2}^{5} f(x) \, dx$}$ Per a $x \geq 2$, $f(x) = x^2 – 2x$:\[\int_{2}^{5} (x^2 – 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} – x^2 \right]_{2}^{5} = \left( \frac{125}{3} – 25 \right) – \left( \frac{8}{3} – 4 \right) = \left( \frac{125}{3} – \frac{75}{3} \right) – \left( \frac{8}{3} – \frac{12}{3} \right) = \frac{50}{3} – \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{54}{3} = 18.\]

$\textbf{Àrea total:}$ \[\text{Àrea} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 18 = \frac{8}{3} + \frac{54}{3} = \frac{62}{3}.\]

$\textbf{Resposta final:}$ \[\boxed{\dfrac{62}{3}}\]