Problema 4 examen de matemàtiques CCSS de 18 de juny de 2020

Un nutricionista, després de fer un estudi personalitzat a un pacient, li proposa una dieta. Segons el model del nutricionista, el pes en kilograms del pacient seguirà la funció $$f(x) = \frac{63x+510}{6+x}$$ en què $x$ denota el nombre de mesos que fa que segueix la dieta

Justifiqueu que la funció $f(x)$ és estrictament decreixent quan $x\geqslant0$.

Tenint en compte que $x$ és el nombre de mesos seguint la dieta cal considerar $Dom_f = [0, +\infty)$. En aquest interval la funció $f$ no presenta cap discontinuïtat, ja que l’únic valor de $x$ pel qual s’anul·la el denominador és $x=−6$. Per estudiar si la funció és decreixent en aquest interval caldrà calcular la funció derivada de $f(x)$: $$f'(x) = \frac{-132}{(x+6)^2}$$ L’equació $f'(x) = 0$ no presenta cap solució i veiem clarament que $f'(x)< 0$ per a tot $x ≥ 0$. Així doncs la funció és estrictament decreixent en tot el seu domini.

Determineu el pes inicial del pacient i quant pesarà al cap de dos mesos de seguir la dieta segons el model. Cap a quin valor tendirà el seu pes a llarg termini? Argumenteu si aquest valor límit s’assolirà en algun moment.

El pes inicial del pacient serà $$f(0)=\frac{510}{6}= 85$$ Al cap de dos mesos pesaria $$f(2) =79,5$$. Per saber a quin valor tendeix el pes cal calcular el límit de $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) = 63$$
Aquest valor no s’assolirà mai ja que la funció és estrictament decreixent per a tot $x≥0$.