Problema 5 examen de matemàtiques CCSS 18 de juny de 2020

Un comerciant pot comprar articles a $350$ euros la unitat. Si els ven a $750$ euros la unitat, en ven $30$. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d’unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de $20$ euros en el preu de venda, incrementa les vendes en $3$ unitats. Considerant que el comerciant només comprarà el nombre d’articles que sap que vendrà:

Escriviu la funció de beneficis a partir del nombre de vegades $x$ que s’aplica el descompte.

Anomenem $x$ el nombre de vegades que s’aplica el descompte de $20$ €. La funció que dóna el benefici del comerciant és el producte entre dels diners que guanya per cada unitat venuda pel nombre d’unitats que ven:

$$𝐵(𝑥) = (400 − 20𝑥) \cdot (30 + 3𝑥) = −60𝑥^2 + 600𝑥 + 12.000$$

Determineu el preu de venda que fa màxims els beneficis del comerciant i justifiqueu que és un màxim. Determineu quantes unitats vendrà.

Per trobar el punt on s’assoleix el màxim derivem la funció $𝐵(𝑥)$: $$𝐵'(𝑥) = −120𝑥 + 600$$ Si igualem la derivada a zero veiem que hi ha un extrem relatiu en el punt $𝑥 = 5$. Veiem que es tracta d’un màxim perquè la derivada és positiva per $𝑥<5$ i és negativa per $𝑥>5$. Per tant el preu de venda és $750 − 5\cdot20 = 650$ €. D’altra banda, mensualment es vendran $30 + 5 \cdot 3 = 45$ unitats.