LEMNISCATA
Matemàtiques
Anomenem $x$ el nombre de vegades que s’aplica el descompte de $20$ €. La funció que dóna el benefici del comerciant és el producte entre dels diners que guanya per cada unitat venuda pel nombre d’unitats que ven:
$$𝐵(𝑥) = (400 − 20𝑥) \cdot (30 + 3𝑥) = −60𝑥^2 + 600𝑥 + 12.000$$
Per trobar el punt on s’assoleix el màxim derivem la funció $𝐵(𝑥)$: $$𝐵'(𝑥) = −120𝑥 + 600$$ Si igualem la derivada a zero veiem que hi ha un extrem relatiu en el punt $𝑥 = 5$. Veiem que es tracta d’un màxim perquè la derivada és positiva per $𝑥<5$ i és negativa per $𝑥>5$. Per tant el preu de venda és $750 − 5\cdot20 = 650$ €. D’altra banda, mensualment es vendran $30 + 5 \cdot 3 = 45$ unitats.