Problema 3 examen de matemàtiques CCSS 18 de juny de 2020

Un comerciant pot comprar articles a $350$ euros la unitat. Si els ven a $750$ euros la unitat, en ven $30$. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d’unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de $20$ euros en el preu de venda, incrementa les vendes en $3$ unitats. Considerant que el comerciant només comprarà el nombre d’articles que sap que vendrà:

Anomenem $x$ el nombre de vegades que s’aplica el descompte de $20$ €. La funció que dona el benefici del comerciant és el producte entre dels diners que guanya per cada unitat venuda pel nombre d’unitats que ven:

$$𝐵(𝑥) = (400 − 20𝑥) \cdot (30 + 3𝑥) = −60𝑥^2 + 600𝑥 + 12.000$$

Per trobar el punt on s’assoleix el màxim derivem la funció $B(𝑥)$:

$$𝐵'(𝑥) = −120𝑥 + 600$$

Si igualem la derivada a zero veiem que hi ha un extrem relatiu en el punt $x = 5$. Veiem que es tracta d’un màxim perquè la derivada és positiva per $x<5$ i és negativa per $x>5$.

Per tant el preu de venda és $750 − 5\cdot20 = 650$ €. D’altra banda, mensualment es vendran $30 + 5\cdot3 = 45$ unitats.