Problema 2. Examen selectivitat Matemàtiques CCSS. Juny 2025 Catalunya

Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció $$f(x) = \frac{x^3}{3} – \frac{35x^2}{2} + 300x + 250$$, on $x \in [0, 24]$ representa el temps en hores. a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de $24$ hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim. b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix?

a) En primer lloc, hem de calcular el valor de la inversió a l’inici del dia, és a dir, quan $x = 0$. Observem que $f(0) = 250$; per tant, el valor inicial és de 250 euros. Al final del dia, quan $x = 24$, el valor de la inversió és de $f(24) = 1978$ euros. Per tant, durant el dia ha tingut un benefici de $1978 – 250 = 1728$ euros.

Per saber en quin instant del dia s’assoleix el valor màxim, comencem calculant la derivada de la funció:
$$f'(x) = x^2 – 35x + 300$$
Si igualem la derivada a zero, obtenim $x = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2}$; és a dir, tenim dues solucions: $x = 15$ i $x = 20$. Per veure si són màxims o mínims relatius, podem estudiar el signe de la derivada. Veiem que:

• $f'(x) > 0$ per $0 \leq x < 15$; per tant, aquí la funció és creixent.
• $f'(x) < 0$ per $15 < x < 20$; per tant, aquí la funció és decreixent.
• $f'(x) > 0$ per $20 < x \leq 24$; per tant, aquí la funció és creixent.

Obtenim, per tant, que la funció té un màxim relatiu en $x = 15$ i un mínim relatiu en $x = 20$.

L’instant en què la inversió assolirà el valor màxim és el màxim absolut de la funció $f(x)$ en el domini on està definida, $x \in [0,24]$. A partir dels intervals de creixement i decreixement que hem obtingut, aquest màxim absolut només es podrà assolir o bé en el màxim relatiu $x = 15$ o bé en l’extrem superior de l’interval de definició $x = 24$.

Observem que $f(15) = 1937,5$; per tant, l’instant en què s’assoleix el màxim és al final del dia i aquest valor màxim és de $f(24) = 1978$ euros.

b) Per saber l’instant en què el valor de la inversió ha estat mínim, a partir de l’estudi que hem fet dels intervals de creixement i decreixement de la funció, hem de comprovar el valor de la inversió en l’instant en què s’assoleix el mínim relatiu i en l’instant inicial. Observem que en $x = 20$ el valor de la inversió és de $f(20) = 1916,67$ euros.

Per tant, el mínim absolut s’assoleix en l’instant inicial $f(0) = 250$ euros, i, en particular, no hi ha cap instant en què el valor de la inversió hagi estat negatiu.