Problema 1. Proves d’Accés a la Universitat. Curs 2012-2013. Física

En el año 1969, el módulo de mando Columbia, de la misión Apollo 11, tripulado por el astronauta Michael Collins, orbitaba a 100 km de altura sobre la superficie de la Luna con un período de 118 minutos. Mientras tanto, Neil Armstrong y Edwin Aldrin, los otros dos tripulantes, caminaban sobre la Luna. Calcula: a) La masa de la Luna y la intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar. b) La velocidad de escape desde la superficie lunar.

Datos: $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \, \text{kg}^{-2}$
$R_{\text{Luna}} = 1,74 \times 10^3 \, \text{km}$

Datos proporcionados:

• $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \, \text{m}^2 \, \text{kg}^{-2}$
• $R_{\text{Luna}} = 1.74 \times 10^3 \, \text{km} = 1.74 \times 10^6 \, \text{m}$
• Altura de órbita $h = 100 \, \text{km} = 1.0 \times 10^5 \, \text{m}$
• Periodo de órbita $T = 118 \, \text{min} = 118 \times 60 \, \text{s}$

a) Cálculo de la masa de la Luna y la intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar

1. Determinación de la masa de la Luna usando la fórmula del período de un objeto en órbita circular: $$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R_{\text{Luna}} + h)^3}{G M_{\text{Luna}}}}$$ De aquí despejamos $M_{\text{Luna}}$: $$M_{\text{Luna}} = \frac{4 \pi^2 (R_{\text{Luna}} + h)^3}{G T^2} = 7.36 \times 10^{22} \, \text{kg}$$
2. Intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar $g_{\text{Luna}}$, usando: $$g_{\text{Luna}} = \frac{G M_{\text{Luna}}}{R_{\text{Luna}}^2} = 1.62 \, \text{m/s}^2$$

b) Cálculo de la velocidad de escape desde la superficie lunar

La velocidad de escape desde una superficie se obtiene mediante:

$$v_{\text{escape}} = \sqrt{\frac{2 G M_{\text{Luna}}}{R_{\text{Luna}}}} = 2374.73 \, \text{m/s}$$

Aquí están los resultados de los cálculos:

• Masa de la Luna $M_{\text{Luna}}$: $7.36 \times 10^{22} \, \text{kg}$
• Intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar $g_{\text{Luna}}$: $1.62 \, \text{m/s}^2$
• Velocidad de escape desde la superficie lunar $v_{\text{escape}}$: $2374.73 \, \text{m/s}$

Estos valores representan la masa de la Luna, la gravedad en su superficie y la velocidad mínima necesaria para escapar de su atracción gravitatoria desde la superficie.