Problema 1. Proves d’Accés a la Universitat. Curs 2012-2013. Física

L’any $1969$, el mòdul de comandament Columbia, de la missió Apollo $11$, tripulat per l’astronauta Michael Collins, orbitava a $100$ km d’alçada sobre la superfície de la Lluna amb un període de $118$ minuts. Mentrestant, Neil Armstrong i Edwin Aldrin, els altres dos tripulants, caminaven sobre la Lluna. Calcula: a) La massa de la Lluna i la intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar. b) La velocitat d’escapament des de la superfície lunar.

Dades: $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \, \text{kg}^{-2}$
$R_{\text{Luna}} = 1,74 \times 10^3 \, \text{km}$

Dades proporcionades:

• $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \, \text{m}^2 \, \text{kg}^{-2}$
• $R_{\text{Luna}} = 1.74 \times 10^3 \, \text{km} = 1.74 \times 10^6 \, \text{m}$
• Alçada d’òrbita $h = 100 \, \text{km} = 1.0 \times 10^5 \, \text{m}$
• Període d’òrbita $T = 118 \, \text{min} = 118 \times 60 \, \text{s}$

a) Càlcul de la massa de la Lluna i la intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar

Determinació de la massa de la Lluna usant la fórmula del període d’un objecte en òrbita circular: $$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R_{\text{Luna}} + h)^3}{G M_ {\text{Luna}}}}$$ D’aquí buidem $M_{\text{Luna}}$: $$M_{\text{Luna}} = \frac{4 \pi^2 (R_{\text{ Lluna}} + h)^3}{G T^2} = 7.36 \times 10^{22} \, \text{kg}$$

Intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar $g_{\text{Luna}}$, usant: $$g_{\text{Luna}} = \frac{G M_{\text{Luna}}}{R_{\text {Luna}}^2} = 1.62 \, \text{m/s}^2$$

b) Càlcul de la velocitat d’escapament des de la superfície lunar

La velocitat d’escapament des d’una superfície s’obté mitjançant:

$$v_{\text{escapament}} = \sqrt{\frac{2 G M_{\text{Luna}}}{R_{\text{Luna}}}} = 2374.73 \, \text{m/s} $$

Aquí hi ha els resultats dels càlculs:

Massa de la Lluna $M_{\text{Luna}}$: $7.36 \times 10^{22} \, \text{kg}$

Intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar $g_{\text{Luna}}$: $1.62 \, \text{m/s}^2$

Velocitat d’escapament des de la superfície lunar $v_{\text{escapi}}$: $2374.73 \, \text{m/s}$

Versió en castellà