Problema 1 Matemàtiques II PAU. País Basc 2025. Probabilitat i estadística

Els estudis publicats a «Anales Españoles de Pediatría» respecte a les corbes de desenvolupament fetal dels nadons nascuts a l’Hospital de Cruces l’any $2024$ revelen que el pes dels $9476$ nadons segueix una distribució normal amb mitjana $3372$ g i desviació típica $405$ g. (a) Escollit a l’atzar un nadó de l’Hospital de Cruces l’any $2024$, calcula la probabilitat que el seu pes hagi estat superior a $3$ kg. (b) Calcula el nombre probable de nadons de l’Hospital de Cruces l’any $2024$ el pes dels quals estigui en el rang comprès entre $3$ kg i $3,5$ kg. (c) Utilitzant únicament els resultats dels apartats anteriors, raona si és correcte afirmar que la quantitat de nadons de l’Hospital de Cruces l’any $2024$ amb un pes en el rang comprès entre $3,1$ kg i $3,3$ kg hauria d’estar entre $4500$ i $4700$.

La variable $X =$ «pes d’un nadó a l’Hospital de Cruces l’any 2024» segueix una distribució normal $N(3372, 405)$. Representem per $Z$ una variable que segueix una distribució normal tipificada.

(a) La probabilitat que el pes d’un nadó sigui superior a $3$ kg és:
$$P(X > 3000)=P\left(Z>\frac{3000-3372}{405}\right)=P(Z>-0{,}92)=P(Z<0{,}92)=0{,}8212.$$

(b) La probabilitat que el pes d’un nadó estigui en el rang comprès entre $3$ kg i $3,5$ kg és:
$$P(3000<X<3500)=P\left(\frac{3000-3372}{405}<Z<\frac{3500-3372}{405}\right)=P(-0{,}92<Z<0{,}32).$$
$$P(-0{,}92<Z<0{,}32)=P(Z<0{,}32)-P(Z<-0{,}92)=0{,}6255-(1-0{,}8212)=0{,}4467.$$

El nombre probable de nadons amb pes en aquest interval és:
$$9476 \cdot 0{,}4467 \approx 4233.$$

(c) La probabilitat d’un subconjunt no pot ser superior a la del conjunt en què està inclòs. Com que:
$$(3100,3300)\subset (3000,3500),$$
es compleix que:
$$P(3100<X<3300) < P(3000<X<3500)=0{,}4467.$$

Per tant, el nombre de nadons amb pes entre $3,1$ kg i $3,3$ kg ha de ser inferior a:
$$9476 \cdot 0{,}4467 \approx 4233.$$

En conseqüència, no és correcte afirmar que aquest nombre estigui entre $4500$ i $4700$.