Problema 1. Examen Tecnologia selectivitat Illes Canàries. Juliol 2013

a) Se sotmet a tracció una proveta de secció rectangular $2\ \text{mm}\times20\ \text{mm}$ i de $250\ \text{mm}$ de longitud, amb una força de $1019.4\ \text{Kp}$, mesurant-se un allargament de $5\times10^{-2}\ \text{cm}$ dins de la zona elàstica. Es demana determinar: la tensió aplicada, la deformació unitaria i el mòdul de Young ($E$) expressat en $\text{GPa}$. b) En un laboratori de certificació es vol mesurar la resilència d’un material, per a la qual cosa s’utilitza un pèndol de Charpy. La proveta emprada té una secció quadrada de $10\times10\ \text{mm}^2$, i s’obté un valor de $185\ \text{J/cm}^2$. Si el martell emprat té una massa de $20\ \text{kg}$ i es llança des d’una altura de $2\ \text{m}$, determineu l’energia emprada en la ruptura de la peça. c) En un assaig de duresa Brinell s’apliquen $750\ \text{Kp}$ a una bola de $5\ \text{mm}$ de diàmetre. Si la petjada produïda té un diàmetre de $2\ \text{mm}$, determineu el valor de la duresa i expresseu el resultat segons la norma, si sabem que l’experiment dura $20\ \text{s}$.

a) Primer calculem l’esforç:
\begin{equation}
S = 2 \times 20 = 40 \text{ mm}^2 = 0.4 \text{ cm}^2 = 4 \times 10^{-5} \text{ m}^2
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma = \frac{F}{S} = \frac{1019.4 \text{ kp}}{0.4 \text{ cm}^2} = 2548.5 \text{ kp/cm}^2 = 25.48 \text{ kp/mm}^2
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma = \frac{1019.4 \times 9.8 \text{ N}}{4 \times 10^{-5} \text{ m}^2} = 2.497 \times 10^8 \text{ N/m}^2 = 249.7 \text{ MPa}
\end{equation}

La deformació unitaria és:
\begin{equation}
\varepsilon = \frac{\Delta l}{L} = \frac{5 \times 10^{-2} \text{ cm}}{25 \text{ cm}} = 2 \times 10^{-3}
\end{equation}

Finalment, el mòdul de Young ($E$):
\begin{equation}
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{2.497 \times 10^8}{2 \times 10^{-3}} = 1.2485 \times 10^{11} \text{ Pa} = 124.85 \text{ GPa}
\end{equation}

b) Resiliència Charpy:
\begin{equation}
\rho = mg(H-h)
\end{equation}
\begin{equation}
mg(H-h) = \rho \times S = 1 \text{ cm}^2 \times 185 \frac{J}{\text{cm}^2} = 185 \text{ J}
\end{equation}

c) La duresa Brinell es calcula com:
\begin{equation}
f = \frac{1}{2} \left(D – \sqrt{D^2 – d^2}\right) = \frac{1}{2} \left(5 – \sqrt{25 – 4}\right) = 0.2087
\end{equation}
\begin{equation}
HB = \frac{F}{S} = \frac{F}{\pi \times D \times f} = \frac{750 \text{ kp}}{\pi \times 5 \times 0.2087 \text{ mm}^2} = \frac{750 \text{ kp}}{3.27825 \text{ mm}^2} = 228.8 \text{ kp/mm}^2
\end{equation}
Segons la norma es representarà com: 289 HB 5 750 20