Problema 1. Examen de matemàtiques II. Selectivitat Illes Balears 2025

Una pizzería ofereix tres tipus de pizza: margarita, vegetariana i pepperoni. Al llarg dels anys, utilitzant la seva aplicació per a telèfons intel·ligents, el restaurant ha recopilat dades sobre les preferències dels clients, calculant que el 40% dels seus clients demanen pizza margarita, el 25% trien la pizza vegetariana i la resta prefereixen la pizza pepperoni. 1.1 Si es tria un client a l’atzar, quina és la probabilitat que hagi demanat una pizza pepperoni? 1.2 Quina és la probabilitat que dos clients triats a l’atzar hagin demanat diferents tipus de pizza? Per millorar el seu servei i agilitzar els temps de preparació, la pizzería decideix considerar un grup típic de 10 clients amb l’objectiu de decidir quantes pizzes margarita preparar amb antelació i evitar retards durant les hores amb més demanda, minimitzant el malbaratament. 1.3 Quina és la probabilitat que exactament 4 dels 10 clients demanin pizzes margarita? 1.4 Quina és la probabilitat que almenys un dels 10 clients del grup demani una pizza margarita?

1.1 Probabilitat que un client triat a l’atzar hagi demanat una pizza pepperoni: Com que el 40% demana margarita i el 25% demana vegetariana, el percentatge restant és: 100% – 40% – 25% = 35%. Per tant, la probabilitat que un client demani una pizza pepperoni és: P(pepperoni) = 0.35.

1.2 Probabilitat que dos clients triats a l’atzar hagin demanat diferents tipus de pizza: Volem que les eleccions dels dos clients siguin diferents (per exemple, margarita i vegetariana, margarita i pepperoni, o vegetariana i pepperoni). Calculem això utilitzant el complement: primer trobem la probabilitat que tots dos demanin el mateix tipus de pizza i ho restem d’1.

• Probabilitat que tots dos demanin margarita: \(0.4 \times 0.4 = 0.16\).

• Probabilitat que tots dos demanin vegetariana: \(0.25 \times 0.25 = 0.0625\).

• Probabilitat que tots dos demanin pepperoni: \(0.35 \times 0.35 = 0.1225\).

• Probabilitat total que demanin el mateix tipus: \(0.16 + 0.0625 + 0.1225 = 0.345\).

• Probabilitat que demanin diferents tipus: \(1 – 0.345 = 0.655\). Per tant, la probabilitat és: P(diferents) = 0.655.

1.3 Probabilitat que exactament 4 dels 10 clients demanin pizzes margarita: Això segueix una distribució binomial, on \(n = 10\) (nombre de clients), \(p = 0.4\) (probabilitat de demanar margarita) i \(k = 4\) (nombre d’èxits). La fórmula binomial és: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

• Coeficient binomial: \(\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210\).

• Probabilitat d’èxit: \(0.4^4 = 0.0256\).

• Probabilitat de fracàs: \((1-0.4)^{10-4} = 0.6^6 = 0.046656\).

• Probabilitat total: \(P(X = 4) = 210 \times 0.0256 \times 0.046656 \approx 0.2508\). Per tant, la probabilitat és: P(exactament 4 margarita) ≈ 0.251.

1.4 Probabilitat que almenys un dels 10 clients demani una pizza margarita: És més fàcil calcular el complement, és a dir, la probabilitat que cap client demani margarita, i restar-ho d’1.

• Probabilitat de no demanar margarita: \(1 – 0.4 = 0.6\).

• Probabilitat que els 10 clients no demanin margarita: \(0.6^{10} \approx 0.006046\).

• Probabilitat que almenys un demani margarita: \(1 – 0.6^{10} \approx 1 – 0.006046 = 0.993954\). Per tant, la probabilitat és: P(almenys 1 margarita) ≈ 0.994.

Resum de respostes:

• 1.1: 0.35

• 1.2: 0.655

• 1.3: 0.251

• 1.4: 0.994