Problema 1 examen de matemàtiques II 26 juny de 2020

1. Considera el següent sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x+3y-\beta z & = & -3 \\2x+(\beta-5)y+z & = & 4\beta+2 \\4x+(\beta-1)y-3z & = & 4\end{array}\right\}$$
   1. Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$
   2. Hi ha algun valor de $\beta$ per al qual $x=1$, $y=–3$, $z=–1$ sigui l’única solució del sistema?
   3. Resol el sistema per al cas o casos en els quals tingui infinites solucions.

Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$

Per resoldre el sistema d’equacions lineals utilitzant la regla de Cramer, hem de determinar per a quins valors del paràmetre \( \beta \) el sistema és compatible determinat (solució única), incompatible (sense solució) o compatible indeterminat (infinites solucions). El sistema és:\[\begin{cases}x + 3y – \beta z = -3 \\2x + (\beta – 5)y + z = 4\beta + 2 \\4x + (\beta – 1)y – 3z = 4\end{cases}\]La regla de Cramer s’aplica quan el determinant de la matriu de coeficients \( \det(A) \neq 0 \), i la solució única es calcula com \( x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} \), \( y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} \), \( z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} \), on \( A_x, A_y, A_z \) són les matrius obtingudes substituint la columna corresponent de \( A \) pels termes independents. Si \( \det(A) = 0 \), hem d’analitzar la compatibilitat del sistema.

Pas 1: Matriu de coeficients i determinant. La matriu de coeficients \( A \) és:\[A = \begin{bmatrix}1 & 3 & -\beta \\2 & \beta – 5 & 1 \\4 & \beta – 1 & -3\end{bmatrix}\]Calculem el determinant \( \det(A) \) per expansió per la primera fila:\[\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} \beta – 5 & 1 \\ \beta – 1 & -3 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} + (-\beta) \cdot \begin{vmatrix} 2 & \beta – 5 \\ 4 & \beta – 1 \end{vmatrix}\]

• Primer determinant: \[ (\beta – 5)(-3) – (1)(\beta – 1) = -3\beta + 15 – \beta + 1 = -4\beta + 16 \]

• Segon determinant: \[ (2)(-3) – (1)(4) = -6 – 4 = -10 \]

• Tercer determinant: \[ (2)(\beta – 1) – (\beta – 5)(4) = 2\beta – 2 – (4\beta – 20) = 2\beta – 2 – 4\beta + 20 = -2\beta + 18 \]\[\det(A) = (-4\beta + 16) – 3(-10) + (-\beta)(-2\beta + 18) = -4\beta + 16 + 30 + 2\beta^2 – 18\beta = 2\beta^2 – 22\beta + 46\]\[\det(A) = 2(\beta^2 – 11\beta + 23)\]

Perquè el sistema tingui solució única, \( \det(A) \neq 0 \). Resolem:\[\beta^2 – 11\beta + 23 = 0\]\[\Delta = (-11)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 23 = 121 – 92 = 29\]\[\beta = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \approx 8.1925, 2.8075\]Per tant, el sistema té solució única quan \( \beta \neq \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \). Si \( \beta = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \), hem d’analitzar si és incompatible o indeterminat.

Pas 2: Càlcul de les solucions per Cramer (quan \( \det(A) \neq 0 \)). Definim les matrius \( A_x, A_y, A_z \):

• Matriu \( A_x \) (substituïm la primera columna per \( [-3, 4\beta + 2, 4] \)):\[A_x = \begin{bmatrix}-3 & 3 & -\beta \\4\beta + 2 & \beta – 5 & 1 \\4 & \beta – 1 & -3\end{bmatrix}\]Determinant per la primera columna:\[\det(A_x) = (-3) \cdot \begin{vmatrix} \beta – 5 & 1 \\ \beta – 1 & -3 \end{vmatrix} – (4\beta + 2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -\beta \\ \beta – 1 & -3 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -\beta \\ \beta – 5 & 1 \end{vmatrix}\]- Primer: \( (\beta – 5)(-3) – (1)(\beta – 1) = -4\beta + 16 \)- Segon: \( (3)(-3) – (-\beta)(\beta – 1) = -9 + \beta^2 – \beta = \beta^2 – \beta – 9 \)- Tercer: \( (3)(1) – (-\beta)(\beta – 5) = 3 + \beta^2 – 5\beta = \beta^2 – 5\beta + 3 \)\[\det(A_x) = -3(-4\beta + 16) – (4\beta + 2)(\beta^2 – \beta – 9) + 4(\beta^2 – 5\beta + 3)\]\[= 12\beta – 48 – (4\beta^3 – 4\beta^2 – 36\beta + 2\beta^2 – 2\beta – 18) + (4\beta^2 – 20\beta + 12)\]\[= 12\beta – 48 – 4\beta^3 + 2\beta^2 + 34\beta + 18 + 4\beta^2 – 20\beta + 12 = -4\beta^3 + 6\beta^2 + 26\beta – 18\]
• Matriu \( A_y \):\[A_y = \begin{bmatrix}1 & -3 & -\beta \\2 & 4\beta + 2 & 1 \\4 & 4 & -3\end{bmatrix}\]\[\det(A_y) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4\beta + 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} – (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} + (-\beta) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4\beta + 2 \\ 4 & 4 \end{vmatrix}\]
• Primer: \( (4\beta + 2)(-3) – (1)(4) = -12\beta – 10 \) Segon: \( -10 \) (com abans)
• Tercer: \( (2)(4) – (4\beta + 2)(4) = 8 – (16\beta + 8) = -16\beta \)\[\det(A_y) = (-12\beta – 10) – (-3)(-10) + (-\beta)(-16\beta) = -12\beta – 10 – 30 + 16\beta^2 = 16\beta^2 – 12\beta – 40\]

• Matriu \( A_z \):\[A_z = \begin{bmatrix}1 & 3 & -3 \\2 & \beta – 5 & 4\beta + 2 \\4 & \beta – 1 & 4\end{bmatrix}\]\[\det(A_z) = 1 \cdot \begin{vmatrix} \beta – 5 & 4\beta + 2 \\ \beta – 1 & 4 \end{vmatrix} – 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4\beta + 2 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} + (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & \beta – 5 \\ 4 & \beta – 1 \end{vmatrix}\]- Primer: \( (\beta – 5)(4) – (4\beta + 2)(\beta – 1) = 4\beta – 20 – (4\beta^2 – 4\beta + 2\beta – 2) = -4\beta^2 + 6\beta – 18 \)- Segon: \( -16\beta \)- Tercer: \( -2\beta + 18 \)\[\det(A_z) = (-4\beta^2 + 6\beta – 18) – 3(-16\beta) + (-3)(-2\beta + 18) = -4\beta^2 + 6\beta – 18 + 48\beta + 6\beta – 54 = -4\beta^2 + 60\beta – 72\]Les solucions són:\[x = \frac{-4\beta^3 + 6\beta^2 + 26\beta – 18}{2(\beta^2 – 11\beta + 23)}, \quad y = \frac{16\beta^2 – 12\beta – 40}{2(\beta^2 – 11\beta + 23)}, \quad z = \frac{-4\beta^2 + 60\beta – 72}{2(\beta^2 – 11\beta + 23)}\]### **Pas 3: Compatibilitat quan \( \det(A) = 0 \)**Quan \( \beta = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \), \( \det(A) = 0 \). Utilitzem la reducció de Gauss per analitzar la compatibilitat:Matriu ampliada després de reduir (com es va fer anteriorment):\[\begin{bmatrix}1 & 3 & -\beta & -3 \\0 & \beta – 11 & 2\beta + 1 & 4\beta + 8 \\0 & 0 & 2(\beta^2 – 11\beta + 23) & -4(\beta^2 – 15\beta + 70)\end{bmatrix}\]Quan \( \beta^2 – 11\beta + 23 = 0 \), la tercera fila és:\[[0, 0, 0, -4(\beta^2 – 15\beta + 70)]\]\[\beta^2 – 15\beta + 70 = (11\beta – 23) – 15\beta + 70 = -4\beta + 47\]\[-4(-4\beta + 47) = 16\beta – 188 \neq 0\]La tercera fila és \( [0ව, 0, 0, k] \) amb \( k \neq 0 \), per tant, el sistema és incompatible per \( \beta = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \).

Pas 4: Comprovació per \( \beta = 11 \). Calculem \( \det(A) \):\[\det(A) = 2(11^2 – 11 \cdot 11 + 23) = 2(121 – 121 + 23) = 46 \neq 0\]Apliquem Cramer:\[\det(A_x) = -4 \cdot 11^3 + 6 \cdot 11^2 + 26 \cdot 11 – 18 = -5324 + 726 + 286 – 18 = -4330\]\[\det(A_y) = 16 \cdot 11^2 – 12 \cdot 11 – 40 = 1936 – 132 – 40 = 1764\]\[\det(A_z) = -4 \cdot 11^2 + 60 \cdot 11 – 72 = -484 + 660 – 72 = 104\]\[x = \frac{-4330}{46} = -\frac{2143}{23}, \quad y = \frac{1764}{46} = \frac{882}{23}, \quad z = \frac{104}{46} = \frac{52}{23}\]El sistema és compatible determinat per \( \beta = 11 \).

Pas 5: Resum**

• Compatible determinat: Quan \( \beta \neq \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \), amb solució única calculada per Cramer.

• Incompatible: Quan \( \beta = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \).

• Compatible indeterminat: No hi ha cap \( \beta \) que produeixi infinites solucions.

Resposta final:\[\boxed{\begin{array}{l}\text{Compatible determinat: } \beta \neq \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2}, \text{ p.ex., per } \beta = 11, \text{ solució: } \left( -\frac{2143}{23}, \frac{882}{23}, \frac{52}{23} \right) \\\text{Incompatible: } \beta = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2} \\\text{Compatible indeterminat: No existeix}\end{array}}\]