Probabilitats d’Imperfeccions en un filferro de Coure amb Distribució de Poisson

Suposem que el nombre d’imperfeccions en un filferro prim de coure segueix una distribució de Poisson amb una mitjana de $2,3$ imperfeccions per mil·límetre. (a) Determineu la probabilitat de $2$ imperfeccions en un mil·límetre d’alambre. (b) Determineu la probabilitat de $10$ imperfeccions en $5$ mil·límetres d’alambre. (c) Determineu la probabilitat d’almenys una imperfecció en $2$ mil·límetres d’alambre.

La distribució de Poisson modela el nombre d’imperfeccions en un interval determinat, amb una taxa mitjana constant. La variable aleatòria $X$ representa el nombre d’imperfeccions, i la fórmula de probabilitat és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}, \quad \text{per } x = 0, 1, 2, \dots$$
on $\lambda$ és la mitjana d’imperfeccions en l’interval considerat.

(a) Probabilitat de $2$ imperfeccions en $1$ mil·límetre

Paràmetre $\lambda$:
La mitjana és $\lambda = 2,3$ imperfeccions per mil·límetre (donat directament). Per tant, $X \sim Poisson(\lambda = 2,3)$.

Volem calcular $P(X = 2)$:
$$P(X = 2) = \frac{e^{-2,3} \cdot 2,3^2}{2!}$$

Calculem:

• $e^{-2,3} \approx 0,1002588$
• $2,3^2 = 5,29$
• $2! = 2$

Substituïm:
$$P(X = 2) = \frac{0,1002588 \cdot 5,29}{2} \approx \frac{0,53036905}{2} \approx 0,2651845$$

Resposta: La probabilitat de $2$ imperfeccions en $1$ mil·límetre és aproximadament $0,2652$.

(b) Probabilitat de $10$ imperfeccions en $5$ mil·límetres

Paràmetre $\lambda$:
La mitjana per mil·límetre és $2,3$ imperfeccions. En $5$ mil·límetres, la mitjana és:
$$\lambda = 2,3 \cdot 5 = 11,5$$
Per tant, $X \sim Poisson(\lambda = 11,5)$.

Volem calcular $P(X = 10)$:
$$P(X = 10) = \frac{e^{-11,5} \cdot 11,5^{10}}{10!}$$

Calculem:

• $e^{-11,5} \approx 0,0000100518$
• $11,5^{10} = (11,5)^5 \cdot (11,5)^5 \approx 201,13671875 \cdot 201,13671875 \approx 40,455,96875$
• $10! = 3,628,800$

Numerador:
$$e^{-11,5} \cdot 11,5^{10} \approx 0,0000100518 \cdot 40,455,96875 \approx 0,406648$$

Dividim:
$$P(X = 10) = \frac{0,406648}{3,628,800} \approx 0,000112068$$

Resposta: La probabilitat de $10$ imperfeccions en $5$ mil·límetres és aproximadament $0,1121$.

(c) Probabilitat d’almenys una imperfecció en $2$ mil·límetres

Paràmetre $\lambda$:
En $2$ mil·límetres, la mitjana és:
$$\lambda = 2,3 \cdot 2 = 4,6$$
Per tant, $X \sim Poisson(\lambda = 4,6)$.

Volem calcular $P(X \geq 1)$, que és el complement de $P(X = 0)$:
$$P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0)$$

Calculem $P(X = 0)$:
$$P(X = 0) = \frac{e^{-4,6} \cdot 4,6^0}{0!} = e^{-4,6}$$

• $e^{-4,6} \approx 0,0100518$

Aleshores:
$$P(X \geq 1) = 1 – e^{-4,6} \approx 1 – 0,0100518 \approx 0,9899482$$

Resposta: La probabilitat d’almenys una imperfecció en $2$ mil·límetres és aproximadament $0,9899$.

Resum de respostes:

(a) Probabilitat de $2$ imperfeccions en $1$ mm: $0,2652$
(b) Probabilitat de $10$ imperfeccions en $5$ mm: $0,1121$
(c) Probabilitat d’almenys $1$ imperfecció en $2$ mm: $0,9899$