Probabilitat que més de 2 Estudiants Escullin una Mestria en Finances

Una enquesta realitzada a $500$ estudiants de darrer curs de la Price Business School proporciona les següents dades. El $75\%$ comença a treballar directament després de graduar-se. El $15\%$ continua per fer un Màster en Administració d’Empreses (Master of Business Administration, MBA). El $9\%$ es queda per obtenir un títol en una assignatura secundària en un altre programa. L’$1\%$ continua en un Màster en Finances. Quina és la probabilitat que més de $2$ estudiants de darrer curs vagin a l’escola de postgrau per fer un Màster en Finances?

Pas 1: Definir els paràmetres

• Nombre d’estudiants $n$: $500$
• Probabilitat que un estudiant esculli un Màster en Finances $p$: $0.01$ $1\%$
• Probabilitat de no escollir-lo $q = 1 – p$: $0.99$
• Volem la probabilitat que més de $2$ estudiants escullin aquesta opció, és a dir, $P(X > 2)$, on $X$ és el nombre d’estudiants que van al Màster en Finances.

La variable aleatòria $X$ segueix una distribució binomial: $X \sim Binomial(n = 500, p = 0.01)$.

Pas 2: Aproximació a la distribució de Poisson

Com que $n = 500$ és gran i $p = 0.01$ és petit, podem aproximar la distribució binomial a una distribució de Poisson. En una distribució de Poisson, el paràmetre $\lambda$ és el valor esperat de la binomial:
$$\lambda = n \cdot p = 500 \cdot 0.01 = 5$$]
Per tant, $X \sim Poisson(\lambda = 5)$.

Volem calcular:
$$P(X > 2) = 1 – P(X \leq 2)$$
on:
$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

Pas 3: Calcular $P(X \leq 2)$ amb la distribució de Poisson

La fórmula de la probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
Amb $\lambda = 5$.

• Per a $k = 0$:
  $$P(X = 0) = \frac{e^{-5} \cdot 5^0}{0!} = e^{-5} \approx 0.0067379$$
• Per a $k = 1$:
  $$P(X = 1) = \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} = e^{-5} \cdot 5 \approx 0.0067379 \cdot 5 \approx 0.0336895$$
• Per a $k = 2$:
  $$P(X = 2) = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} = \frac{e^{-5} \cdot 25}{2} \approx \frac{0.0067379 \cdot 25}{2} \approx 0.0842238$$

Sumem:
$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.0067379 + 0.0336895 + 0.0842238 \approx 0.1246512$$

Pas 4: Calcular $P(X > 2)$

$$P(X > 2) = 1 – P(X \leq 2) \approx 1 – 0.1246512 \approx 0.8753488$$

Pas 5: Resposta final

La probabilitat que més de $2$ estudiants de darrer curs vagin a un Màster en Finances és aproximadament $0.8753$.

Resposta: $0.8753$