Probabilitat obertura tancament electrònic

Una casa disposa d’un tancament electrònic que només s’obre si es descobreix el número secret, que consta de quatre xifres. Quants intents hem de fer per estar segurs d’obrir-la? Desanimats pel gran nombre d’intents necessaris, ens fixem que els dígits 2, 5, 7 i 8 apareixen més desgastats que els altres. Quantes opcions tindrem si el número secret està format per aquests dígits? I si els números desgastats fossin només 2, 5 i 8?

Per a cadascun dels dígits tenim 10 opcions, de manera que la quantitat de números claus possibles serà:

\begin{equation}
10^4 = 10.000 \quad \text{(els números des del 0000 fins al 9999)}.
\end{equation}

Si coneixem els 4 dígits del número clau, les opcions es redueixen a les seves possibles reordenacions (permutacions):

\begin{equation}
P_4 = 4! = 24.
\end{equation}

Si només està format per 3 dígits (un es repeteix), tenim tres opcions (el 2, el 5 o el 8 es repeteixen), i per a cadascuna d’elles, la permutació és:

\begin{equation}
PR^{4}_{2,1,1} = \frac{4!}{2!1!1!} = 12
\end{equation}

opciones diferents, per la qual cosa la solució és $36$.