Probabilitat i Valor Esperat per a una Malaltia amb Baixa Prevalença en una Població

Una certa malaltia té una probabilitat d’ocórrer $p = \frac{1}{100000}$, el que en Medicina s’anomena prevalença. Calcula la probabilitat que en una ciutat de 500000 habitants hi hagi més de 3 persones amb aquesta malaltia. Quin seria en aquesta ciutat el nombre de malalts esperat?

La situació es pot modelar amb una distribució binomial, on $X$ és el nombre de persones amb la malaltia en una població de $n = 500000$ habitants, i la probabilitat d’èxit (tenir la malaltia) és $p = \frac{1}{100000} = 0,00001$. Com que $n$ és gran i $p$ és petit, podem aproximar la distribució binomial a una distribució de Poisson.

Pas 1: Aproximació a la distribució de Poisson

El paràmetre $\lambda$ de la distribució de Poisson és el valor esperat de la binomial:
$$\lambda = n \cdot p = 500000 \cdot \frac{1}{100000} = 5$$
Per tant, $X \sim Poisson(\lambda = 5)$, on $X$ és el nombre de persones amb la malaltia.

La fórmula de probabilitat per a la distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$

Pas 2: Probabilitat que hi hagi més de 3 persones malaltes

Volem calcular $P(X > 3)$, que és el complement de $P(X \leq 3)$:
$$P(X > 3) = 1 – P(X \leq 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]$$

Calculem cada probabilitat amb $\lambda = 5$:

• Per a $x = 0$:
  $$P(X = 0) = \frac{e^{-5} \cdot 5^0}{0!} = e^{-5} \approx 0,0067379$$
• Per a $x = 1$:
  $$P(X = 1) = \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} = e^{-5} \cdot 5 \approx 0,0067379 \cdot 5 \approx 0,0336895$$
• Per a $x = 2$:
  $$P(X = 2) = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} = \frac{e^{-5} \cdot 25}{2} \approx \frac{0,0067379 \cdot 25}{2} \approx 0,0842238$$
• Per a $x = 3$:
  $$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{e^{-5} \cdot 125}{6} \approx \frac{0,0067379 \cdot 125}{6} \approx 0,1403730$$

Sumem:
$$P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \approx 0,0067379 + 0,0336895 + 0,0842238 + 0,1403730 \approx 0,2650242$$

Aleshores:
$$P(X > 3) = 1 – P(X \leq 3) \approx 1 – 0,2650242 \approx 0,7349758$$

Resposta: La probabilitat que hi hagi més de $3$ persones amb la malaltia és aproximadament $0,7350$.

Pas 3: Nombre de malalts esperat

El nombre esperat de malalts es calcula com el valor esperat de la distribució, que en una distribució de Poisson (o binomial en aquest cas) és:
$$E(X) = \lambda = n \cdot p = 500000 \cdot \frac{1}{100000} = 5$$

Resposta: El nombre de malalts esperat és $5$.

Resum de respostes:

• Probabilitat que hi hagi més de $3$ persones malaltes: $0,7350$
• Nombre de malalts esperat: $5$