Probabilitat de Venda de Pastissos amb Distribució de Poisson

En una botiga de queviures, es venen de mitjana 10 pastissos per hora. Quina és la probabilitat que en una hora específica es venguin exactament 8 pastissos?

El nombre de pastissos venuts en una hora segueix una distribució de Poisson, amb una mitjana de $\mu = 10$ pastissos per hora. La variable aleatòria $X$ representa el nombre de pastissos venuts en una hora.

La fórmula de probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$
on $\lambda = \mu = 10$.

Volem calcular la probabilitat que es venguin exactament $8$ pastissos, és a dir, $P(X = 8)$.

Càlcul:

Substituïm $\lambda = 10$ i $x = 8$:
$$P(X = 8) = \frac{e^{-10} \cdot 10^8}{8!}$$

Calculem cada component:

• $e^{-10} \approx 0,0000453999$
• $10^8 = 100,000,000$
• $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40,320$

Primer, calculem el numerador:
$$e^{-10} \cdot 10^8 \approx 0,0000453999 \cdot 100,000,000 \approx 4,53999$$

Ara, dividim pel factorial:
$$P(X = 8) = \frac{4,53999}{40,320} \approx 0,112599$$

Resposta final:

La probabilitat que en una hora específica es venguin exactament $8$ pastissos és aproximadament $0,1126$.

Resposta: $0,1126$