Probabilitat de Rebuda de Trucades en una Central Telefònica amb Distribució de Poisson

A una central telefònica ingressen trucades a un ritme de $6$ per minut. Calcular la probabilitat que, en un interval de $0,5$ minuts, es rebi almenys $1$ trucada.

El nombre de trucades rebudes segueix una distribució de Poisson, amb una taxa mitjana de $6$ trucades per minut. La variable aleatòria $X$ representa el nombre de trucades rebudes en un interval de temps determinat.

La fórmula de la probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$
on $\lambda$ és la mitjana de trucades en l’interval considerat.

Pas 1: Determinar el paràmetre $\lambda$

L’interval de temps és de $0,5$ minuts, i la taxa és de $6$ trucades per minut. Per tant, la mitjana de trucades en $0,5$ minuts és:
$$\lambda = 6 \text{ trucades/minut} \cdot 0,5 \text{ minuts} = 3$$
Aleshores, $X \sim Poisson(\lambda = 3)$.

Pas 2: Calcular $P(X \geq 1)$

Volem la probabilitat que es rebi almenys $1$ trucada, és a dir, $P(X \geq 1)$. Aquesta és el complement de no rebre cap trucada ($P(X = 0)$):
$$P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0)$$

Calculem $P(X = 0)$:
$$P(X = 0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = e^{-3}$$

Sabem que:
$$e^{-3} \approx 0,0497871$$

Aleshores:
$$P(X \geq 1) = 1 – e^{-3} \approx 1 – 0,0497871 \approx 0,9502129$$

Pas 3: Resposta final

La probabilitat que es rebi almenys $1$ trucada en un interval de $0,5$ minuts és aproximadament $0,9502$.

Resposta: $0,9502$