Probabilitat de Col·lapse del Servei d’Urgències i Representació de la Funció de Massa de Probabilitat

El nombre de malalts que sol·liciten atenció d’urgència en un hospital durant un període de $24$ hores té una mitjana de $43,2$ pacients. Se sap que el servei es col·lapsarà si el nombre de malalts excedeix de $50$. Calculeu la probabilitat que es col·lapsi el servei d’urgències del hospital. Representeu la funció de massa de probabilitat.

El nombre de malalts que sol·liciten atenció d’urgència segueix una distribució de Poisson, amb una mitjana de $\mu = 43,2$ pacients per $24$ hores. La variable aleatòria $X$ representa el nombre de malalts en $24$ hores.

La fórmula de la probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}, \quad \text{per } x = 0, 1, 2, \dots$$
on $\lambda = \mu = 43,2$.

Pas 1: Probabilitat que el servei es col·lapsi

El servei es col·lapsa si $X > 50$. Per tant, hem de calcular:
$$P(X > 50) = 1 – P(X \leq 50)$$
La probabilitat acumulada $P(X \leq 50)$ és:
$$P(X \leq 50) = \sum_{x=0}^{50} \frac{e^{-43,2} \cdot 43,2^x}{x!}$$

Com que calcular aquesta suma manualment és complex a causa del gran nombre de termes, podem utilitzar una aproximació o eines computacionals. No obstant això, per a una distribució de Poisson amb $\lambda = 43,2$, que és relativament gran, podem considerar una aproximació normal per simplificar el càlcul, ja que per a $\lambda$ gran, $X \sim Poisson(\lambda)$ s’aproxima a una distribució normal $N(\mu = \lambda, \sigma^2 = \lambda)$.

Aproximació normal:

• Mitjana: $\mu = \lambda = 43,2$
• Variànça: $\sigma^2 = \lambda = 43,2$
• Desviació estàndard: $\sigma = \sqrt{43,2} \approx 6,5727$

Per calcular $P(X > 50)$, considerem $X$ com una variable contínua (aproximació normal) i apliquem una correcció de continuïtat, ja que $X$ és discreta. Així, $P(X > 50)$ es converteix en $P(X \geq 51)$ per a la variable discreta, i per a la normal, calculem:
$$P(X > 50,5) \quad \text{(correcció de continuïtat per } X > 50\text{)}$$

Estandaritzem:
$$Z = \frac{50,5 – \mu}{\sigma} = \frac{50,5 – 43,2}{6,5727} \approx \frac{7,3}{6,5727} \approx 1,1106$$

Ara, busquem $P(Z > 1,1106)$ en una taula de la distribució normal estàndard:
$$P(Z > 1,1106) = 1 – P(Z \leq 1,1106)$$
Segons les taules de la distribució normal, $P(Z \leq 1,11) \approx 0,8665$. Per tant:
$$P(Z > 1,1106) \approx 1 – 0,8665 \approx 0,1335$$

Resposta: La probabilitat que el servei d’urgències es col·lapsi ($X > 50$) és aproximadament $0,1335$.

Pas 2: Representació de la funció de massa de probabilitat

La funció de massa de probabilitat (FMP) per a $X \sim Poisson(\lambda = 43,2)$ és:
$$f(x) = P(X = x) = \frac{e^{-43,2} \cdot 43,2^x}{x!}, \quad \text{per } x = 0, 1, 2, \dots$$

Per representar gràficament la FMP, podem calcular $P(X = x)$ per a diversos valors de $x$ al voltant de la mitjana ($\mu = 43,2$) i representar-los en un gràfic de barres. Com que $\lambda = 43,2$ és gran, la distribució és aproximadament simètrica al voltant de la mitjana, i les probabilitats més significatives es troben en un interval al voltant de $x = 43$.

Resum de respostes:

• Probabilitat que el servei es col·lapsi ($X > 50$): $0,1335$
• Funció de massa de probabilitat: $f(x) = \frac{e^{-43,2} \cdot 43,2^x}{x!}$, representable amb un gràfic de barres al voltant de $x = 43$.