Probabilitat d’Accidents en una Carretera amb Distribució de Poisson

En una carretera es produeixen una mitjana de $2$ accidents anuals. Calcula la probabilitat que aquest any es produeixin més de $3$ accidents.

El nombre d’accidents segueix una distribució de Poisson, amb una mitjana de $2$ accidents per any ($\mu = 2$). La variable aleatòria $X$ representa el nombre d’accidents en un any.

La fórmula de probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$
on $\lambda = \mu = 2$.

Volem calcular la probabilitat que hi hagi més de $3$ accidents, és a dir, $P(X > 3)$. Això és el complement de $P(X \leq 3)$:
$$P(X > 3) = 1 – P(X \leq 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]$$

Pas 1: Calcular les probabilitats individuals

Amb $\lambda = 2$:

• Per a $x = 0$:
  $$P(X = 0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0,1353353$$
• Per a $x = 1$:
  $$P(X = 1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = e^{-2} \cdot 2 \approx 0,1353353 \cdot 2 \approx 0,2706706$$
• Per a $x = 2$:
  $$P(X = 2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = \frac{e^{-2} \cdot 4}{2} \approx \frac{0,1353353 \cdot 4}{2} \approx 0,2706706$$
• Per a $x = 3$:
  $$P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{e^{-2} \cdot 8}{6} \approx \frac{0,1353353 \cdot 8}{6} \approx 0,1804470$$

Pas 2: Calcular $P(X \leq 3)$

Sumem les probabilitats:
$$P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$$
$$P(X \leq 3) \approx 0,1353353 + 0,2706706 + 0,2706706 + 0,1804470 \approx 0,8571235$$

Pas 3: Calcular $P(X > 3)$

$$P(X > 3) = 1 – P(X \leq 3) \approx 1 – 0,8571235 \approx 0,1428765$$

Resposta final:

La probabilitat que aquest any es produeixin més de $3$ accidents és aproximadament $0,1429$.

Resposta: $0,1429$