Posició, velocitat i acceleració en un MHS

D’una partícula que efectua un MHS sabem que, a \( t_1 = 16 \, \text{s} \), la seva posició respecte de l’origen, la seva velocitat i la seva acceleració són, respectivament,\[x_1 = 9,80 \, \text{cm}, \quad v_1 = 132 \, \text{cm/s}, \quad a_1 = -4743,2 \, \text{cm/s}^2.\]Trobeu l’expressió de l’elongació \( x \) en funció del temps \( t \).

La posició de la partícula queda determinada per la funció\[x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \tag{1}\]de la qual hem de calcular els tres paràmetres que hi intervenen: \( \omega \), \( A \) i \( \varphi \), a partir de les tres dades \( x_1 \), \( v_1 \), \( a_1 \).\textbf{Càlcul de \( \omega \)}Com que \( a = -\omega^2 x \), veiem immediatament que\[\omega = \sqrt{-\frac{a_1}{x_1}} = 22,00 \, \text{rad/s}.\]

$\textbf{Càlcul de \( A \)}$

Si derivem (1), n’obtenim la velocitat\[v(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi) \tag{2}\]I per (1) i (2) podem fer\[\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{\omega^2 A^2} = \cos^2(\omega t + \varphi) + \sin^2(\omega t + \varphi) = 1.\]D’aquí trobem una relació general entre la posició i la velocitat en el mateix instant i l’amplitud \( A \) del moviment:\[A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}} \tag{1.6}\]Aplicant-hi els valors de \( x_1 \) i \( v_1 \) de l’enunciat, resulta \( A = 11,491 \, \text{cm} \).

$\textbf{Càlcul de \( \varphi \)}$

A partir dels valors de \( x_1 \) i de l’amplitud \( A \) acabada de trobar, per (1) tenim\[\cos(\omega t_1 + \varphi) = \frac{x_1}{A} = 0,85285,\]i la fase \( \varphi \) resulta ser\[\omega t_1 + \varphi = \arccos(0,85285).\]Per tant, obtenim dos possibles valors per a \( \varphi \):\[\varphi_a = 0,54937 \, \text{rad}, \quad \varphi_b = 2\pi – \varphi_a = 5,73381 \, \text{rad}.\]

Quin dels dos angles possibles, \( \varphi_a \) i \( \varphi_b \), és el que correspon al nostre problema? Com es mostra a la figura 1.3, aquesta qüestió ens la respon el signe de la velocitat, que en aquest cas és positiu (\( v_1 = +132 \, \text{cm/s} > 0 \)).I per (2) tenim:a) \( \sin(\varphi_a) > 0 \), és a dir, \( v < 0 \), i per tant, no ens interessa.

b) \( \sin(\varphi_b) < 0 \), és a dir, \( v > 0 \), que és el que busquem. Així doncs, \( \varphi = \varphi_b = 5,73381 \, \text{rad} \). I \( \varphi \) valdrà\[\varphi = \varphi_b – \omega t_1 = -346,26619 \, \text{rad} \times \frac{1 \, \text{volta}}{2\pi \, \text{rad}} = -55,109976 \, \text{voltes} \equiv 0,890024 \, \text{volta} \times \frac{2\pi \, \text{rad}}{1 \, \text{volta}} = 5,59219 \, \text{rad}.\]

Conseqüentment, l’equació del moviment de la partícula, \( x(t) \), en cm, és\[x(t) = 11,491 \cos(22,000 \cdot t + 5,5922),\]que també podríem escriure com\[x(t) = 7,3232 \sin(\omega t) + 8,8551 \cos(\omega t),\]i d’altres formes equivalents.