Porta homogènia

Una porta homogènia que pesa $60$ kg està subjecta per dos frontisses que estan separats $1.80$ m. Cada frontissa suporta la meitat del pes de la porta. La distància dels gaudis a la part superior i inferior de la porta és la mateixa. L’amplada de la porta és de $1,20$ m. Calculeu les forces que actuen sobre cada frontissa i l’angle que formen amb l’horitzontal.

Per resoldre aquest problema, calcularem les forces que actuen sobre cada gozne de la porta, utilitzant els principis d’equilibri estàtic.

Dades:

• Massa de la porta: $M = 60 \, \text{kg}$
• Pes de la porta: $W = Mg = 60 \times 9,8 = 588 \, \text{N}$
• Distància entre les frontisses: $d = 1,80 \, \text{m}$
• Amplada de la porta: $L = 1,20 \, \text{m}$
• Cada frontissa suporta la meitat del pes de la porta: $\frac{W}{2} = \frac{588}{2} = 294 \, \text{N}$

Pas 1: Forces verticals

Atès que cada frontissa suporta la meitat del pes de la porta, la força vertical sobre cada frontissa és $F_v = 294 \, \text{N}$.

Pas 2: Forces horitzontals

Ara necessitem calcular les forces horitzontals $F_h$ sobre les frontisses.

Pas 3: Condició d’equilibri de moments

Prenem moments al voltant d’una frontissa (per exemple, la frontissa inferior) per determinar la força horitzontal en la frontissa superior.

Si considerem la frontissa inferior com a punt de referència:

• El moment degut al pes de la porta (que actua en el centre de massa de la porta, és a dir, al punt mitjà de l’alçada i a $\frac{L}{2} = 0,60 \, \text{m}$ de la bisagra) és $W \times 0,60$.
• El moment degut a la força horitzontal de al frontissa superior $F_{h1}$ és $F_{h1} \times d$.

Equilibri de moments al voltant de la frontissa inferior:

$$F_{h1} \times 1,80 = 588 \times 0,60$$

$$F_{h1} = \frac{588 \times 0,60}{1,80} = \frac{352,8}{1,80} = 196 \, \text{N}$$

Atès que la suma de les forces horitzontals ha de ser zero i que la frontissa inferior només té la força horitzontal en sentit oposat a la de la frontissa superior:

$$F_{h2} = – F_{h1} = -196 \, \text{N}$$

Pas 4: Magnitud de la força en cada frontissa

Les forces $F_1$ i $F_2$ que actuen en cada frontissa es poden obtenir sumant vectorialment les components horitzontals i verticals:

Per la frontissa superior:

$$F_1 = \sqrt{F_{v1}^2 + F_{h1}^2} = \sqrt{294^2 + 196^2} \approx \sqrt{86436 + 38416} = \sqrt{124852} \approx 353 \, \text{N}$$

Per la frontissa inferior:

$$F_2 = \sqrt{F_{v2}^2 + F_{h2}^2} = \sqrt{294^2 + (-196)^2} = \sqrt{124852} \approx 353 \, \text{N}$$

Pas 5: Angle de la força respecte a l’horitzontal

L’angle $\theta$ de la força respecte a l’horitzontal es pot trobar utilitzant la relació:

$$\tan \theta = \frac{F_v}{F_h}$$

Per a les dues frontisses:

$$\tan \theta = \frac{294}{196} = 1,5 \quad \Rightarrow \quad \theta = \tan^{-1}(1,5) \approx 56,3^\circ$$

Resum de resultats:

• La força en cada frontissa és $F_1 = F_2 \approx 353 \, \text{N}$.
• L’angle que formen amb l’horitzontal és $\theta \approx 56,3^\circ$.