LEMNISCATA
Matemàtiques
Una porta homogènia que pesa $60$ kg està subjecta per dos frontisses que estan separats $1.80$ m. Cada frontissa suporta la meitat del pes de la porta. La distància dels gaudis a la part superior i inferior de la porta és la mateixa. L’amplada de la porta és de $1,20$ m. Calculeu les forces que actuen sobre cada frontissa i l’angle que formen amb l’horitzontal.
Per resoldre aquest problema, calcularem les forces que actuen sobre cada gozne de la porta, utilitzant els principis d’equilibri estàtic.
Atès que cada frontissa suporta la meitat del pes de la porta, la força vertical sobre cada frontissa és $F_v = 294 \, \text{N}$.
Ara necessitem calcular les forces horitzontals $F_h$ sobre les frontisses.
Prenem moments al voltant d’una frontissa (per exemple, la frontissa inferior) per determinar la força horitzontal en la frontissa superior.
Si considerem la frontissa inferior com a punt de referència:
Equilibri de moments al voltant de la frontissa inferior:
$$F_{h1} \times 1,80 = 588 \times 0,60$$
$$F_{h1} = \frac{588 \times 0,60}{1,80} = \frac{352,8}{1,80} = 196 \, \text{N}$$
Atès que la suma de les forces horitzontals ha de ser zero i que la frontissa inferior només té la força horitzontal en sentit oposat a la de la frontissa superior:
$$F_{h2} = – F_{h1} = -196 \, \text{N}$$
Les forces $F_1$ i $F_2$ que actuen en cada frontissa es poden obtenir sumant vectorialment les components horitzontals i verticals:
Per la frontissa superior:
$$F_1 = \sqrt{F_{v1}^2 + F_{h1}^2} = \sqrt{294^2 + 196^2} \approx \sqrt{86436 + 38416} = \sqrt{124852} \approx 353 \, \text{N}$$
Per la frontissa inferior:
$$F_2 = \sqrt{F_{v2}^2 + F_{h2}^2} = \sqrt{294^2 + (-196)^2} = \sqrt{124852} \approx 353 \, \text{N}$$
L’angle $\theta$ de la força respecte a l’horitzontal es pot trobar utilitzant la relació:
$$\tan \theta = \frac{F_v}{F_h}$$
Per a les dues frontisses:
$$\tan \theta = \frac{294}{196} = 1,5 \quad \Rightarrow \quad \theta = \tan^{-1}(1,5) \approx 56,3^\circ$$