plataforma circular de radi. Estàtica

Una plataforma circular de radi $1.2$ m i massa $40$ kg, gira en un pla horitzontal respecte de l’eix que passa pel centre amb una velocitat angular de $30$ rpm. Es deixa caure un bloc de $5$ kg sobre la plataforma i es queda adherit a la plataforma a una distància de $80$ cm de l’eix. Determineu:

a) El moment d’inèrcia inicial i el moment d’inèrcia quan el cos està adherit en la plataforma respecte de l’eix de gir.
b) La velocitat angular final del sistema en rpm. Considerem el bloc com una massa puntual.

a) Moment d’inèrcia inicial i moment d’inèrcia amb el bloc adherit

1. Moment d’inèrcia inicial de la plataforma: La plataforma és una estructura circular homogènia. El moment d’inèrcia $I_p$ d’un disc respecte al seu eix central és:
   $$I_p = \frac{1}{2} M R^2$$
   on $M$ és la massa de la plataforma i $R$ el seu radi. Amb les dades proporcionades:

• $M = 40$ kg (massa de la plataforma)
• $R = 1.2$ m (radi de la plataforma) Calculem $I_p$:
  $$I_p = \frac{1}{2} \times 40 \times (1.2)^2$$
  $$I_p = 28.8 \text{ kg m}^2$$
• Per tant, el moment d’inèrcia inicial de la plataforma és $I_p = 28.8$ kg m$^2$.

1. Moment d’inèrcia amb el bloc adherit: Ara, considerem que el bloc de $5$ kg s’adhereix a la plataforma a una distància de $80$ cm $= 0.8$ m de l’eix de gir. Com que el bloc és una massa puntual, el seu moment d’inèrcia $I_b$ respecte a l’eix de gir és simplement $m r^2$, on $m$ és la massa del bloc i $r$ és la distància des de l’eix de gir.

• $m = 5$ kg (massa del bloc)
• $r = 0.8$ m (distància del bloc a l’eix de gir) Calculem $I_b$:
  $$I_b = m r^2 = 5 \times (0.8)^2$$
  $$I_b = 5 \times 0.64 = 3.2 \text{ kg m}^2$$
• Així doncs, el moment d’inèrcia total del sistema (plataforma + bloc) quan el bloc està adherit és:
  $$I_{\text{total}} = I_p + I_b = 28.8 + 3.2 = 32 \text{ kg m}^2$$

b) Velocitat angular final del sistema

Per determinar la velocitat angular final del sistema, considerem la conservació del moment angular:

• El moment angular inicial del sistema és $L_i = I_p \omega_i$, on $\omega_i$ és la velocitat angular inicial de la plataforma.
• Després que el bloc s’adhereixi a la plataforma, el moment angular final del sistema ha de ser igual al moment angular inicial a causa de la conservació del moment angular.

La velocitat angular final $\omega_f$ es calcula com:
$$\omega_f = \frac{L_i}{I_{\text{total}}}$$
on $L_i = I_p \omega_i$.

Substituïm els valors coneguts:
$$\omega_f = \frac{I_p \omega_i}{I_{\text{total}}} = \frac{28.8 \times \frac{2\pi \times 30}{60}}{32}$$
$$\omega_f = \frac{28.8 \times \pi}{32} = \frac{28.8 \pi}{32}$$
$$\omega_f = 0.9 \pi \text{ rad/s}$$

Per convertir aquesta velocitat angular a revolucions per minut (rpm):
$$\omega_f = \frac{0.9 \pi \times 60}{2\pi} \text{ rpm}$$
$$\omega_f = 27 \text{ rpm}$$