Plantejament sistema equacions. Família treballadora

Entre els tres treballadors actius d’una família, mare, pare i germà gran, han guanyat un total de 66.000 euros. Si la mare guanya el 125% del que guanya el pare i els guanys conjunts de pare i germà gran igualen la suma del que guanya la mare més la meitat del que guanya el pare, a) Plantejar el sistema corresponent. b) Quan guanya cadascun?

Definim les variables:

• $x$: salari del pare
• $y$: salari de la mare
• $z$: salari del germà gran

El sistema d’equacions és:
\begin{cases}
y = 1.25x \\ x + y + z = 66000 \\ x + z = y + \frac{x}{2}
\end{cases}

Reescrivim el sistema en forma matricial:
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 1 & 1.25 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 66000 \\ 0 \\ 1.25x \end{bmatrix}
\end{equation}

El determinant principal és:
\begin{equation}
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1.25 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}
\end{equation}

Calculant $\Delta$:
\begin{equation}
\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} – 1.25 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta = (1 \cdot 0 – (-1) \cdot 1) – 1.25 (1 \cdot 0 – (-1) \cdot 0) + (1 \cdot 1 – 0 \cdot 0)
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta = (0 + 1) – 1.25(0) + (1 – 0) = 2
\end{equation}

Ara calculem els determinants auxiliars:
\begin{equation}
\Delta_x = \begin{vmatrix} 66000 & 1.25 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1.25x & 1 & 0 \end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 66000 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1.25x & 0 \end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1.25 & 66000 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1.25x \end{vmatrix}
\end{equation}

Resolent les equacions:
\begin{equation}
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{44000}{2} = 22000 \text{ euros}
\end{equation}
\begin{equation}
y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{55000}{2} = 27500 \text{ euros}
\end{equation}
\begin{equation}
z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{33000}{2} = 16500 \text{ euros}
\end{equation}

Per tant, els salaris són:

• El pare guanya 22000 euros
• La mare guanya 27500 euros
• El germà gran guanya 16500 euros