Penjar un llum amb corda tensa

Volem penjar un llum amb una corda clavada en dos punts $A$ i $B$ del sostre separats $140\ \text{cm}$. L’angle que forma la corda amb el sostre és $40^\circ$ a l’extrem $A$ i $60^\circ$ a l’extrem $B$. El llum penja al punt més baix $P$ de la corda. a) Longitud total de la corda $AP+PB$ b) Alçada $h$ del llum respecte del sostre

Siguin $AP = x$, \quad $BP = y$, \quad alçada $h$.

Com que l’alçada és la mateixa pels dos trams tenim:
$$h = x\sin 40^\circ = y\sin 60^\circ$$
D’on
$$x = y \frac{\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$$

La projecció horitzontal suma els $140$ cm:
$$x\cos 40^\circ + y\cos 60^\circ = 140$$

Substituïm $x$:
$$y \frac{\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}\cos 40^\circ + y\cos 60^\circ = 140$$

Factoritzem $y$:
$$y \left( \frac{\sin 60^\circ \cdot \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} + \cos 60^\circ \right) = 140$$

Valors numèrics:
$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad
\cos 60^\circ = \frac{1}{2},\quad
\sin 40^\circ \approx 0{,}642788,\quad
\cos 40^\circ \approx 0{,}766044$$

$$\frac{\sin 60^\circ \cdot \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ}
\approx \frac{0{,}866025 \cdot 0{,}766044}{0{,}642788}
\approx 1{,}03209$$

$$y (1{,}03209 + 0{,}5) = 140 \Rightarrow y \cdot 1{,}53209 = 140$$

$$y \approx \frac{140}{1{,}53209} \approx 91{,}38\ \text{cm}$$

$$x \approx 91{,}38 \cdot \frac{0{,}866025}{0{,}642788}
\approx 91{,}38 \cdot 1{,}34730 \approx 123{,}13\ \text{cm}$$

$\textbf{Respostes}$

a) Longitud total de la corda:
$$AP + BP \approx 123{,}13 + 91{,}38 = \boxed{214{,}5\ \text{cm}}$$

b) Distància del llum al sostre:
$$h = x \sin 40^\circ \approx 123{,}13 \cdot 0{,}642788
\approx \boxed{79{,}1\ \text{cm}}$$
(igualment $h = y \sin 60^\circ \approx 91{,}38 \cdot 0{,}866025 \approx 79{,}1\ \text{cm}$).