Pèndol simple

Com es presenta a la Figura 1.8, un pèndol simple consisteix en una barra o una corda inextensible, de longitud $L$ però de massa negligible, que té una partícula $P$ —la llentilla—, de massa $m$, lligada a l’extrem. Pengem la corda del sostre per l’altre extrem $O$ i deixem que, per l’acció del seu pes, oscil·li en un pla vertical. Per la conservació de l’energia, el moviment del pèndol serà simètric al voltant de la vertical, entre les dues posicions extremes $A$ i $A’$.

Les forces que actuen sobre la llentilla són el seu pes, $mg$, i la tensió de la corda, $N$. A la Figura 1.8 (b), s’indica que, quan la corda fa un angle $\theta$ amb la vertical, és a dir, amb la posició d’equilibri, podem descompondre el vector pes en dues components: la normal, de mòdul $F_N = mg\cos\theta$, i la tangencial, de mòdul $F_T = mg\sin\theta$. Quan la partícula està oscil·lant, descriu un moviment circular —no uniforme— de radi constant $L$.

Precisament per això, la diferència entre la tensió $N$ i la component normal del pes, $F_N$, no pot ser nul·la, sinó que ha de ser igual a la força centrípeta \begin{equation}N – mg\cos\theta = m \frac{v^2}{L}
\end{equation} Si bé, com veurem a continuació, per a l’estudi del pèndol, aquesta última igualtat,
que ens proporciona el valor de la tensió $N$, no és significativa.

Aplicarem la segona llei de Newton a la llentilla, relacionant la seva acceleració tangencial amb la component tangencial del pes. Com sabem, en un moviment circular, l’acceleració tangencial és igual al producte de l’acceleració angular $\frac{d^2\theta}{dt^2}$ pel radi $L$. Quant a la força, molta atenció: la segona llei de Newton és una equació vectorial i hem de tenir en compte, per tant, els sentits dels vectors. En aquest cas, fixem-nos que, quan l’angle $\theta$ sigui positiu, la força tangencial serà negativa, i a l’inrevés. Això significa que la força és restauradora. Per tant, cal posar un signe menys davant del mòdul de la força. Així, tindrem \begin{equation} mL \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg\sin\theta \end{equation}
i, simplificant la massa $m$, obtenim l’equació diferencial \begin{equation} \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0 \end{equation}
Malgrat l’aparença innocent d’aquesta equació, el $\sin\theta$ la complica extraordinàriament. Ara bé, si l’angle $\theta$ de l’oscil·lació és petit en tot moment, podem aproximar el sinus per l’angle en radians —vegeu (A.61), apèndix §A.2— \begin{equation} \sin\theta \approx \theta \end{equation}
i així l’equació anterior quedarà com
\begin{equation}
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0
\end{equation}
que és una equació diferencial de l’estil de la (1.9) per a l’angle $\theta$. Com que ambdues equacions són formalment idèntiques, els resultats també han de ser-ho. En conseqüència, l’angle $\theta$ depèn del temps $t$ com
\begin{equation}
\theta = \Theta \cos(\omega t + \phi)
\end{equation}
i la llentilla fa un MHS angular, amb $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$, de manera que l’amplitud angular $\Theta$ i la fase inicial $\phi$ són les dues constants que depenen de les condicions inicials. El període de les oscil·lacions val
\begin{equation}
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
\end{equation}
que, com en tots els MHS, és independent de l’amplitud de les oscil·lacions.

Cal insistir que aquests resultats només són vàlids si les oscil·lacions són d’amplitud petita.

Les aproximacions com ara la (1.17) són molt freqüents en tots els camps de la física, com en l’òptica, l’electrònica, etc. S’anomena aproximació lineal perquè l’equació diferencial a què dóna lloc, la (1.18), és una equació diferencial lineal, és a dir, a tota l’equació la funció $\theta$ és elevada a la potència 1. L’equació exacta per a $\theta$, la (1.16), no és lineal a causa del $\sin\theta$; tampoc no seria lineal si hi aparegués en l’equació, per exemple, $\theta^2$, $e^{-\lambda \theta}$, $\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2$, $\sqrt{\theta}$, etc.

Les equacions diferencials lineals tenen una propietat que s’anomena principi de superposició, que ajuda a resoldre-les. En canvi, l’estudi de les equacions diferencials no lineals, a les quals no és aplicable, és molt més complex que el de les lineals.