PARTÍCULA CARREGADA EN CAMPS ELÈCTRIC I MAGNÈTIC

Una partícula amb càrrega $q = 20 \times 10^{-15}\;\text{C} = 2{,}0 \times 10^{-14}\;\text{C}$ entra en una regió de l’espai amb velocitat $\vec{v} = (0,\; 0,\; -7 \times 10^5)\;\text{m/s}$ on existeix un camp elèctric $\vec{E} = (0,\; 2 \times 10^4,\; 0)\;\text{N/C}$.

a) Determina el mòdul, direcció i sentit del camp magnètic $\vec{B}$ necessari perquè la partícula no es desviï (trajectòria rectilínia).
b) Si en lloc del camp anterior es posa $\vec{B} = (0{,}4,\; 0,\; 0)\;\text{T}$, calcula la força total que actua sobre la partícula.
c) Si ara s’anul·la completament el camp elèctric ($\vec{E} = 0$) i es deixa només el camp magnètic $\vec{B} = (0{,}4,\; 0,\; 0)\;\text{T}$, explica detalladament la trajectòria que seguirà la partícula (tipus de moviment, pla, radi, període, sentit, etc.).

a) Camp magnètic perquè no es desviï
Perquè la força total sigui zero:
$q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v} \times \vec{B} = -\vec{E}$

$$(-7\times10^5\;\hat{k}) \times \vec{B} = – (2\times10^4\;\hat{j})$$

La solució és $\vec{B} = B_x \hat{i}$, i calculant:
$$B_x = \frac{2\times10^4}{7\times10^5} = 0{,}02857\;\text{T}$$

Resposta a)
$$\boxed{\vec{B} = 0{,}0286\;\hat{i}\;\text{T} \quad (28{,}6\;\text{mT en direcció } +x)}$$

b) Força total amb $\vec{B} = 0{,}4\;\hat{i}\;\text{T}$

• Força elèctrica:
  $\vec{F}_E = q\vec{E} = 2{,}0\times10^{-14} \times 2\times10^4 \hat{j} = 4{,}0\times10^{-10}\;\hat{j}\;\text{N}$
• Força magnètica:
  $\vec{v} \times \vec{B} = (-7\times10^5\;\hat{k}) \times (0{,}4\;\hat{i}) = 2{,}8\times10^5\;(-\hat{j})\times(-1) = +2{,}8\times10^5\;\hat{j}$
  $\vec{F}_B = q(\vec{v}\times\vec{B}) = 2{,}0\times10^{-14} \times 2{,}8\times10^5\;\hat{j} = 5{,}6\times10^{-9}\;\hat{j}\;\text{N}$
• Força total:
  $\vec{F}_{\text{total}} = (4{,}0\times10^{-10} + 5{,}6\times10^{-9})\hat{j} = 6{,}0\times10^{-9}\;\hat{j}\;\text{N}$

Resposta b)
$$\boxed{\vec{F}_{\text{total}} = 6{,}0 \times 10^{-9}\;\hat{j}\;\text{N}}$$

c) Trajectòria amb només $\vec{B} = 0{,}4\;\hat{i}\;\text{T}$ i $\vec{E}=0$

• La força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat → el mòdul de la velocitat es conserva.
• $\vec{B}$ és paral·lel a l’eix x → la component de velocitat paral·lela a $\vec{B}$ és $v_\parallel = v_x = 0$.
• Per tant, no hi ha moviment al llarg de l’eix x → la trajectòria és un cercle perfecte en el pla yz.
• Velocitat perpendicular: $v_\perp = 7 \times 10^5\;\text{m/s}$ (tota la velocitat).
• Radi de la circumferència:
  $$R = \frac{m v_\perp}{|q| B} = \frac{m \cdot 7 \times 10^5}{(2{,}0 \times 10^{-14}) \cdot 0{,}4} = \frac{m \cdot 7 \times 10^5}{8 \times 10^{-15}} = m \cdot 8{,}75 \times 10^{19}\;\text{m}$$
  (el valor numèric depèn de la massa $m$).
• Període de la volta:
  $$T = \frac{2\pi m}{|q| B} = \frac{2\pi m}{8 \times 10^{-15}}\;\text{s}$$
• Freqüència angular (ciclòtron):
  $$\omega = \frac{|q| B}{m} = \frac{8 \times 10^{-15}}{m}\;\text{rad/s}$$
• Sentit del gir: càrrega positiva, $\vec{v}$ inicial cap a –z, $\vec{B}$ cap a +x → per la regla de la mà dreta el gir és antihorari quan es mira en la direcció +x.

Resposta c)
La partícula descriu un moviment circular uniforme en el pla yz (perpendicular a $\vec{B}$), sense component longitudinal.
Radi: $R = m \cdot 8{,}75 \times 10^{19}\;\text{m}$
Període: $T = \frac{2\pi m}{8 \times 10^{-15}}\;\text{s}$
Sentit: antihorari mirant en la direcció del camp magnètic (+x).

Resum final de les respostes
a) $\vec{B} = 0{,}0286\;\hat{i}\;\text{T}$
b) $\vec{F}_{\text{total}} = 6{,}0 \times 10^{-9}\;\hat{j}\;\text{N}$
c) Cercle en pla yz, radi $R = m \cdot 8{,}75 \times 10^{19}\;\text{m}$, sentit antihorari mirant en +x