Optimització del cost d’un tancat rectangular

Un pagès vol tancar un camp rectangular de $1600$ m$^2$ de superfície. El preu de la tanca és de: $5$ € per metre per a la base i $3$ € per metre per a l’alçada. Es demana trobar les dimensions del rectangle que facin que el cost total sigui mínim.

---

Sigui:

• $b$ = base del rectangle
• $h$) = alçada del rectangle

Com que la superfície és de 1600 m²:

$$b \cdot h = 1600$$

El cost total del tancat és:

$$C = 5b + 3h$$

---

✅ Expressar el cost en funció d’una sola variable

Aïllem $h$ de la condició de superfície:

$$h = \frac{1600}{b}$$

Substituïm a la funció de cost:

$$C(b) = 5b + 3\frac{1600}{b}$$

$$C(b) = 5b + \frac{4800}{b}$$

---

✅ Minimització

Derivem:

$$C'(b) = 5 – \frac{4800}{b^2}$$

Igualem a zero per trobar el mínim:

$$5 – \frac{4800}{b^2} = 0$$

$$5 = \frac{4800}{b^2}$$

$$b^2 = 960$$

$$b = \sqrt{960} \approx 30.98 \text{ m}$$

---

✅ Càlcul de l’alçada

$$h = \frac{1600}{b}$$

$$h = \frac{1600}{\sqrt{960}} \approx 51.67 \text{ m}$$

---

🎯 Resposta final

Les dimensions que minimitzen el cost són aproximadament:

$$\boxed{b \approx 31 \text{ m}}$$

$$\boxed{h \approx 52 \text{ m}}$$

---