Optimització de Producció de Bateries per a Cotxes Elèctrics

Una petita empresa fabrica bateries per a cotxes elèctrics. La funció de demanda de bateries, en milers d’euros, ve donada per $p(x) = 400 – 2x$, on $x$ representa la quantitat de bateries, mentre que la funció de costos, en milers d’euros, ve donada per $C(x) = 0.4x^2 – 20x + 400$. Hi ha tres estratègies per trobar la quantitat de bateries que es fabricaran: a) Determineu la quantitat de bateries que cal fabricar per minimitzar els costos i quins serien els costos en aquest cas. b) Determineu la quantitat de bateries que cal fabricar per maximitzar els ingressos i quins ingressos s’obtindrien en aquest cas. Indicació: La funció d’ingressos ve donada per $R(x) = x \cdot p(x)$. c) Determineu la quantitat de bateries que cal fabricar si l’empresa està interessada en maximitzar els beneficis i quin és el benefici obtingut

a) Quantitat de bateries per minimitzar els costos i costos associats. Per minimitzar els costos, hem de trobar el punt crític de la funció de costos $C(x) = 0.4x^2 – 20x + 400$. Això implica calcular la derivada, igualar-la a zero i comprovar si és un mínim.

• Derivada de la funció de costos: \[ C'(x) = \frac{d}{dx}(0.4x^2 – 20x + 400) = 0.8x – 20 \]

• Igualem la derivada a zero: \[ 0.8x – 20 = 0 \implies 0.8x = 20 \implies x = \frac{20}{0.8} = 25 \]

• Comprovem si és un mínim: Calculem la segona derivada: \[ C”(x) = \frac{d}{dx}(0.8x – 20) = 0.8 \] Com que $C”(x) = 0.8 > 0$, el punt $x = 25$ és un mínim local.

• Costos mínims: Substituïm $x = 25$ a la funció de costos: \[ C(25) = 0.4(25)^2 – 20(25) + 400 = 0.4 \cdot 625 – 500 + 400 = 250 – 500 + 400 = 150 \]

Resposta: Per minimitzar els costos, cal fabricar 25.000 bateries, amb un cost de 150.000 euros.

b) Quantitat de bateries per maximitzar els ingressos i ingressos associats. Els ingressos es defineixen com $R(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (400 – 2x) = 400x – 2x^2$. Per maximitzar els ingressos, trobem el punt crític de $R(x)$.

• Derivada de la funció d’ingressos: \[ R'(x) = \frac{d}{dx}(400x – 2x^2) = 400 – 4x \]

• Igualem la derivada a zero: \[ 400 – 4x = 0 \implies 4x = 400 \implies x = 100 \]

• Comprovem si és un màxim: Segona derivada: \[ R”(x) = \frac{d}{dx}(400 – 4x) = -4 \] Com que $R”(x) = -4 < 0$, el punt $x = 100$ és un màxim local.

• Ingressos màxims: Substituïm $x = 100$ a la funció d’ingressos: \[ R(100) = 400 \cdot 100 – 2 \cdot 100^2 = 40.000 – 20.000 = 20.000 \]

Resposta: Per maximitzar els ingressos, cal fabricar 100.000 bateries, amb uns ingressos de 20.000.000 euros.

c) Quantitat de bateries per maximitzar els beneficis i benefici obtingut. El benefici es defineix com $B(x) = R(x) – C(x) = (400x – 2x^2) – (0.4x^2 – 20x + 400)$. Simplifiquem:\[B(x) = 400x – 2x^2 – 0.4x^2 + 20x – 400 = -2.4x^2 + 420x – 400\]Per maximitzar el benefici, trobem el punt crític de $B(x)$.

• Derivada de la funció de benefici: \[ B'(x) = \frac{d}{dx}(-2.4x^2 + 420x – 400) = -4.8x + 420 \]

• Igualem la derivada a zero: \[ -4.8x + 420 = 0 \implies 4.8x = 420 \implies x = \frac{420}{4.8} = 87.5 \]

• Comprovem si és un màxim: Segona derivada: \[ B”(x) = \frac{d}{dx}(-4.8x + 420) = -4.8 \] Com que $B”(x) = -4.8 < 0$, el punt $x = 87.5$ és un màxim local.

• Benefici màxim: Substituïm $x = 87.5$ a la funció de benefici: \[ B(87.5) = -2.4(87.5)^2 + 420(87.5) – 400 \] Calculem $(87.5)^2 = 7656.25$, llavors: \[ B(87.5) = -2.4 \cdot 7656.25 + 420 \cdot 87.5 – 400 \] \[ -2.4 \cdot 7656.25 = -18.375 \] \[ 420 \cdot 87.5 = 36.750 \] \[ B(87.5) = -18.375 + 36.750 – 400 = 18.375 – 400 = 17.975 \]

Resposta: Per maximitzar els beneficis, cal fabricar 87.500 bateries, amb un benefici de 17.975.000 euros.

Resum de respostes

• a) 25.000 bateries, costos de 150.000 euros.

• b) 100.000 bateries, ingressos de 20.000.000 euros.

• c) 87.500 bateries, benefici de 17.975.000 euros.