Определить разрешимость системы, решить систему

Определить разрешимость системы, решить систему\[\begin{cases}x_1 + 2x_2 – x_3 = 7 \\2x_1 + x_3 = -5 \\x_1 + x_2 + x_3 = -4\end{cases}\]

Запишем систему в матричной форме и проверим, является ли она разрешимой.\[\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\2 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\-5 \\-4\end{pmatrix}\]Вычислим определитель матрицы \( \Delta \):\[\Delta = \det \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\2 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]\[= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\]\[= 1 \cdot (0 \cdot 1 – 1 \cdot 1) – 2 \cdot (2 \cdot 1 – 1 \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot 1 – 0 \cdot 1)\]\[= 1 \cdot (0 – 1) – 2 \cdot (2 – 1) + (-1) \cdot (2 – 0)\]\[= 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = -1 – 2 – 2 = -5\]Так как \( \Delta \neq 0 \), система имеет определённое решение. Применим правило Крамера для нахождения значений \( x_1, x_2, x_3 \).Вычислим \( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \):\[\Delta_1 = \det \begin{pmatrix}7 & 2 & -1 \\-5 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 1\end{pmatrix}\]\[= 7 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -5 & 0 \\ -4 & 1 \end{vmatrix}\]\[= 7 \cdot (0 \cdot 1 – 1 \cdot 1) – 2 \cdot ((-5) \cdot 1 – 1 \cdot (-4)) + (-1) \cdot ((-5) \cdot 1 – 0 \cdot (-4))\]\[= 7 \cdot (0 – 1) – 2 \cdot (-5 + 4) + (-1) \cdot (-5 – 0)\]\[= 7 \cdot (-1) – 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-5) = -7 + 2 + 5 = 0\]\[\Delta_2 = \det \begin{pmatrix}1 & 7 & -1 \\2 & -5 & 1 \\1 & -4 & 1\end{pmatrix}\]\[= 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} – 7 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -4 \end{vmatrix}\]\[= 1 \cdot ((-5) \cdot 1 – 1 \cdot (-4)) – 7 \cdot (2 \cdot 1 – 1 \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot (-4) – (-5) \cdot 1)\]\[= 1 \cdot (-5 + 4) – 7 \cdot (2 – 1) + (-1) \cdot (-8 + 5)\]\[= 1 \cdot (-1) – 7 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) = -1 – 7 + 3 = -5\]\[\Delta_3 = \det \begin{pmatrix}1 & 2 & 7 \\2 & 0 & -5 \\1 & 1 & -4\end{pmatrix}\]\[= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -5 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} + 7 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\]\[= 1 \cdot (0 \cdot (-4) – (-5) \cdot 1) – 2 \cdot (2 \cdot (-4) – (-5) \cdot 1) + 7 \cdot (2 \cdot 1 – 0 \cdot 1)\]\[= 1 \cdot (0 + 5) – 2 \cdot (-8 + 5) + 7 \cdot (2 – 0)\]\[= 1 \cdot 5 – 2 \cdot (-3) + 7 \cdot 2 = 5 + 6 + 14 = 25\]Найдём \( x_1, x_2, x_3 \):\[x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{0}{-5} = 0\]\[x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-5}{-5} = 1\]\[x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{25}{-5} = -5\]Таким образом, решение системы:\[x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -5\]