Operacions i propietats de matrius

Són donades les matrius: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Es demana: a) Demostrar que $C – A B^T$ té inversa i calcular-la. b) Calcular la matriu $X$ que verifica $C X = AB^t X + I$, on $I$ és la matriu identitat. c) Justificar que $(A B^T)^n = 2^n I$ per a tot nombre natural $n$.

a) Primer, calculem $AB^T$.

$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\ 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$AB^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I$

Per tant, $C – AB^T = C – 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$

El determinant és $(-1)(-3) – (1)(0) = 3 \neq 0$, per la qual cosa té inversa.

La inversa és $\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

b) L’equació és $CX = AB^T X + I = 2X + I$, ja que $AB^T = 2I$.

Per tant, $CX – 2X = I \Rightarrow (C – 2I)X = I \Rightarrow X = (C – 2I)^{-1}$

Que és la matriu calculada a l’apartat a): $X = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \ 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

c) Com que $AB^T = 2I$, llavors $(AB^T)^n = (2I)^n = 2^n I^n = 2^n I$, per a tot nombre natural $n$.