Nombre mínim d’acudits que ha de conèixer el professor Bernat

El professor Bernat explica cada any 3 acudits als seus estudiants. De vegades repeteix acudits d’anys anteriors, però mai ha explicat exactament els mateixos 3 acudits en dos anys diferents. Sabent que ha estat ensenyant durant 25 anys, quantes acudits com a mínim ha de conèixer?

El professor Bernat explica cada any un triplet d’acudits (una tria de 3 acudits, on l’ordre no importa). Dos triplets són diferents si no contenen exactament els mateixos 3 acudits.Durant 25 anys ha explicat 25 triplets tots diferents.Sigui \( n \) el nombre mínim d’acudits que ha de conèixer. El nombre màxim de triplets diferents que es poden formar amb \( n \) acudits és el nombre de combinacions de \( n \) elements presos de 3 en 3:\[\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\]Aquest valor ha de ser com a mínim 25:\[\binom{n}{3} \geq 25\]Provem valors:- \( n = 7 \): \[ \binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35 \geq 25 \]- \( n = 6 \): \[ \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20 < 25 \]Amb 6 acudits només es poden formar 20 triplets diferents, però se n’han d’explicar 25, cosa impossible. Amb 7 acudits se’n poden formar 35, que és suficient.

Conclusió: el professor Bernat ha de conèixer com a mínim 7 acudits.