Moviment d’un Bloc amb Molla i Rampa

Un bloc de \( 2 \, \text{kg} \) comprimeix \( 15 \, \text{cm} \) una molla de constant elàstica \( 5000 \, \text{N/m} \) en un pla horitzontal. El bloc recorre una distància en el pla d’\( 1 \, \text{m} \) quan el deixem anar lliurement, i després s’enfila per una rampa inclinada \( 20^\circ \). Calculeu l’alçada màxima que pot assolir quan: a) Es desplaça sense fregament. b) Es desplaça amb fregament en tot el recorregut amb un coeficient dinàmic de \( 0,2 \).

Dades inicials

• Massa del bloc: \( m = 2 \, \text{kg} \)
• Constant elàstica de la molla: \( k = 5000 \, \text{N/m} \)
• Compressió inicial de la molla: \( x = 15 \, \text{cm} = 0,15 \, \text{m} \)
• Distància recorreguda en el pla horitzontal: \( d = 1 \, \text{m} \)
• Angle de la rampa: \( \theta = 20^\circ \)
• Coeficient de fregament dinàmic (per al cas b): \( \mu = 0,2 \)
• Acceleració gravitacional: \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \)

Utilitzarem el principi de conservació de l’energia mecànica per al cas sense fregament i ajustarem per les pèrdues d’energia per fregament en el cas amb fregament. L’alçada màxima (\( h \)) es determina quan tota l’energia mecànica es converteix en energia potencial gravitacional.

a) Desplaçament sense fregament. Energia inicial. Quan el bloc comprimeix la molla, l’energia emmagatzemada és energia potencial elàstica:\[E_{\text{elàstica}} = \frac{1}{2} k x^2\]\[E_{\text{elàstica}} = \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot (0,15)^2 = \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot 0,0225 = 56,25 \, \text{J}\]Aquesta energia es converteix completament en energia cinètica quan el bloc es deixa anar i la molla torna a la seva posició d’equilibri. Com que no hi ha fregament, l’energia mecànica es conserva durant el recorregut.

Recorregut pel pla horitzontal i la rampa. En el pla horitzontal (1 m) i en pujar per la rampa, l’energia cinètica inicial es transforma en energia potencial gravitacional a l’alçada màxima (\( h \)). Com que no hi ha fregament, l’energia mecànica total es manté constant:\[E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}\]A l’alçada màxima, el bloc està aturat (\( v = 0 \)), i tota l’energia s’ha convertit en energia potencial gravitacional:\[E_{\text{potencial}} = m g h\]Igualem les energies:\[56,25 = m g h = 2 \cdot 9,8 \cdot h\]\[56,25 = 19,6 h \implies h = \frac{56,25}{19,6} \approx 2,87 \, \text{m}\]

Resposta

a) :\[h = 2,87 \, \text{m}\]

b) Desplaçament amb fregament (\( \mu = 0,2 \)) Ara hem de considerar la pèrdua d’energia per fregament tant en el pla horitzontal com en la rampa. L’energia inicial és la mateixa (\( 56,25 \, \text{J} \)), però part d’aquesta energia es dissipa com a treball contra la força de fregament.

Força de fregament. La força de fregament dinàmica es calcula com:\[F_f = \mu N\]

• En el pla horitzontal: La força normal és \( N = m g \), ja que el pla és horitzontal.\[N = 2 \cdot 9,8 = 19,6 \, \text{N}\]\[F_f = 0,2 \cdot 19,6 = 3,92 \, \text{N}\]

• En la rampa: La força normal és \( N = m g \cos \theta \).\[N = 2 \cdot 9,8 \cdot \cos 20^\circ \approx 2 \cdot 9,8 \cdot 0,9397 \approx 18,42 \, \text{N}\]\[F_f = 0,2 \cdot 18,42 \approx 3,68 \, \text{N}\]

Treball del fregament. El treball realitzat per la força de fregament és negatiu, ja que s’oposa al moviment. El treball total es calcula com:\[W_f = – F_f \cdot d\]

– Pla horitzontal (distància \( d = 1 \, \text{m} \)):\[W_{f, \text{pla}} = – 3,92 \cdot 1 = -3,92 \, \text{J}\]

– Rampa: Suposem que el bloc puja una distància \( s \) per la rampa fins a l’alçada \( h \). L’alçada \( h \) i la distància \( s \) estan relacionades per:\[h = s \sin \theta\]\[s = \frac{h}{\sin 20^\circ} \approx \frac{h}{0,342}\]El treball del fregament en la rampa és:\[W_{f, \text{rampa}} = – F_f \cdot s = – 3,68 \cdot \frac{h}{\sin 20^\circ} \approx – 3,68 \cdot \frac{h}{0,342} \approx – 10,76 h \, \text{J}\]

Conservació de l’energia amb fregament. L’energia inicial es transforma en energia potencial gravitacional i treball contra el fregament:\[E_{\text{inicial}} = E_{\text{potencial}} + W_{f, \text{pla}} + W_{f, \text{rampa}}\]Substituint:\[56,25 = m g h + 3,92 + 10,76 h\]\[56,25 = 2 \cdot 9,8 \cdot h + 3,92 + 10,76 h\]\[56,25 = 19,6 h + 10,76 h + 3,92\]\[56,25 = 30,36 h + 3,92\]\[30,36 h = 56,25 – 3,92 = 52,33\]\[h = \frac{52,33}{30,36} \approx 1,72 \, \text{m}\]

Resposta b):\[h = 1,72 \, \text{m}\]

Resum de respostes a) Sense fregament: \( h = 2,87 \, \text{m} \) b) Amb fregament (\( \mu = 0,2 \)): \( h = 1,72 \, \text{m} \)