Moment d’Inèrcia per Eix Paral·lel en Partícules

Troba el moment d’inèrcia d’aquest sistema per a la rotació al voltant d’un eix paral·lel al primer eix, però que passi per dues de les partícules, com es mostra a la Figura.

Es tracta de calcular el moment d’inèrcia d’un sistema de quatre masses $m_1, m_2, m_3, m_4$ disposades simètricament al voltant d’un eix de rotació. Les masses estan situades a distàncies $r_1, r_2, r_3, r_4$ de l’eix, i les separacions verticals entre elles són $2b$ i $2a$ (horizontalment).

El moment d’inèrcia $I$ es calcula com:

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Pas 1: Identificar les distàncies

Com que el sistema és simètric:

• $r_1$ i $r_2$ estan a la mateixa distància de l’eix (diguem $r$) per a les masses superiors.
• $r_3$ i $r_4$ també estan a la mateixa distància $r$ per a les masses inferiors.
• La distància $r$ depèn de $a$ i $b$. Si les masses estan alineades simètricament, $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Pas 2: Sumar els moments d’inèrcia

Suposant que totes les masses són iguals ($m$) per simetria:
$$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 + m_4 r_4^2$$
$$I = m r^2 + m r^2 + m r^2 + m r^2$$
$$I = 4 m r^2$$

Substituint $r = \sqrt{a^2 + b^2}$:
$$I = 4 m (a^2 + b^2)$$

Resposta final

El moment d’inèrcia del sistema és:
$$I = 4 m (a^2 + b^2)$$