Moment d’inèrcia d’un sistema de quatre partícules a les cantonades d’un quadrat

Quatre partícules, una a cadascuna de les quatre cantonades d’un quadrat amb arestes de $2.0$ m de llarg, estan connectades per barres sense massa (Figura 45). Les masses de les partícules són $m_1 = m_3 = 3.0$ kg i $m_2 = m_4 = 4.0$ kg. Troba el moment d’inèrcia del sistema respecte a l’eix $z$.

El moment d’inèrcia d’un sistema de partícules respecte a un eix determinat és la suma dels productes de la massa de cada partícula i el quadrat de la seva distància respecte a l’eix donat.

Utilitza la definició del moment d’inèrcia d’un sistema de quatre partícules per obtenir:
$$I = \sum m_i r_i^2 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 + m_4 r_4^2$$

Substitueix els valors numèrics i avalua $I_z$:

\begin{equation}I_z = (3.0 \, \mathrm{kg})(2.0 \, \mathrm{m})^2 + (4.0 \, \mathrm{kg})(0)^2 + (3.0 \, \mathrm{kg})(2.0 \, \mathrm{m})^2 + (4.0 \, \mathrm{kg})(2\sqrt{2} \, \mathrm{m})^2\end{equation}

\begin{equation}= 56 \, \mathrm{kg \cdot m^2}\end{equation}